Абсолютная сходимость
Содержание |
Абсолютная сходимость числовых рядов
Определение
Ряд \sum_{k=1}^{\infty} a_k называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|.
- Смотрите также: условная (неабсолютная) сходимость числовых рядов
Свойства
- из сходимости ряда \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| вытекает сходимость ряда \sum_{k=1}^{\infty} a_k.
- При исследовании абсолютной сходимости ряда используют признаки сходимости рядов с положительными членами.
- Если ряд \sum_{k=1}^{\infty} |a_k| расходится, то для выявления условной сходимости числового ряда используют более тонкие признаки: Признак Лейбница, признак Абеля, признак Дирихле.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов первого рода
Определение
Несобственный интеграл первого рода \int_{a}^{+ \infty}f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл \int_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx.
- Смотрите также: условная (неабсолютная) сходимость несобственных интегралов первого рода
Свойства
- из сходимости интеграла \int_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx вытекает сходимость интеграла \int_{a}^{+ \infty}f(x)dx.
- Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла первого рода используют признаки сходимости несобственных интегралов первого рода от неотрицательных функций.
- Если интеграл \int_{a}^{+ \infty}|f(x)|dx расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла первого рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов второго рода
Определение
Пусть f(x) определена и интегрируема на [a; b- \varepsilon\ ] \quad \forall \varepsilon\ \in (0; b-a), неограничена в левой окрестности точки b. Несобственный интеграл второго рода \int_{a}^{b}f(x)dx называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл \int_{a}^{b}|f(x)|dx.
- Смотрите также: условная (неабсолютная) сходимость несобственных интегралов второго рода
Свойства
- из сходимости интеграла \int_{a}^{b}|f(x)|dx вытекает сходимость интеграла \int_{a}^{b}f(x)dx.
- Для выявления абсолютной сходимости несобственного интеграла второго рода используют признаки сходимости несобственных интегралов второго рода от неотрицательных функций.
- Если интеграл \int_{a}^{b}|f(x)|dx расходится, то для выявления условной сходимости несобственного интеграла второго рода могут быть использованы признаки Абеля и Дирихле.
Начальная страница