Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера

Одномерное стационарное уравнение Шрёдингера — линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+U(x)\psi(x)=E\psi(x), \qquad ( 1 )

где \hbarпостоянная Планка, \! m — масса частицы, \! U(x) — потенциальная энергия, \! E — полная энергия, \! \psi(x)волновая функция. Для полной постановки задачи о нахождении решения \! ( 1 ) надо задать также граничные условия, которые представляются в общем виде для интервала \! [a,b]

\alpha_1\psi(a)+\beta_1\frac{d\psi(a)}{dx}=\gamma_1, \qquad ( 2 )
\alpha_2\psi(b)+\beta_2\frac{d\psi(b)}{dx}=\gamma_2, \qquad ( 3 )

где \! \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2 — константы. Квантовая механика рассматривает решения уравнения \! ( 1 ), с граничными условиями \! ( 2 ) и \! ( 3 ).

Содержание

Общие свойства

Исходя из физического смысла волновая функция должна быть однозначной и непрерывной функцией своих координат. Условие нормировки появляется из интерпретации квадрата волновой функции как вероятности.

\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=1. \qquad ( 0a )

Отсюда следует, в частности, что волновая функция должна достаточно быстро спадать как функция x. В одномерном случае, если волновая функция \! \psi(x)~1/x^\alpha при \! x\longrightarrow +\infty, то показатель степени в соответствии с выражением

\! \int^{+\infty}|\psi(x)|^2dx=\int^{+\infty}1/x^{2\alpha}dx=1/x^{2\alpha-1}\mid^{+\infty} \longrightarrow 0, \qquad ( 0b )

должен удовлетворять неравенству \! \alpha>1/2.

Интегрирование уравнения \! ( 1 ) в малой окрестности точки a даёт дополнительные условия на производную волновой функции

\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}dx= \frac{2m}{\hbar^2}\int^{a+\varepsilon}_{a-\varepsilon}(U(x)-E)dx, \qquad ( 0c )

из которого в пределе \! \varepsilon\longrightarrow 0 следует

\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =0, \qquad ( 0d )

если потенциальная энергия имеет в точке a разрывы первого рода (конечные скачки). Если же в точке a имеется разрыв второго рода, например потенциальная энергия описывается дельта-функцией (\! U(x)=-G\delta(x-a)), то условие \! ( 0c ) принимает вид

\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a+0}-\left.\frac{d\psi(x)}{dx}\right|_{a-0} =\frac{2m}{\hbar^2}(-G)\psi(a). \qquad ( 0e )

Если энергетический спектр невырожден, то существует только одна волновая функция, являющаяся решением уравнения Шрёдингера, причём она определена с точностью до фазы. В случае, когда гамильтониан симметричен, то волновые функции будут либо чётными, либо нечётными.

Точные аналитические решения

В общем виде решения уравнения \! ( 1 ), с граничными условиями \! ( 2 ) и \! ( 3 ) не существует, но при некотором выборе потенциальной энергии можно найти точные решения. Они играют важную роль в построении аналитических приближенных решений уравнения \! ( 1 ).

Решение для свободной частицы — плоские волны

В свободном пространстве, где отсутствуют потенциалы уравнение \! ( 1 ) принимает особенно простой вид

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x). \qquad ( 4 )

Для этого уравнения решением является суперпозиция плоских волн

\psi(x)=C_1 e^{i\sqrt{2mE/\hbar}x}+C_2 e^{-i\sqrt{2mE/\hbar}x}. \qquad ( 5 )

Здесь энергия \! E может принимать все значения выше нуля, поэтому говорят, что собственное значение принадлежит непрерывному спектру. Константы \! C_1 и \! C_2 определяются из условия нормировки.

Решение для частицы в потенциальной яме с бесконечными стенками

Если поместить частицу в потенциальную яму, то непрерывный спектр энергий становится дискретным. Для уравнения \! ( 1 ) с потенциальной энергией \! U(x), которая равна нулю в интервале \! (0,a) и становится бесконечной в точках \! 0 и \! a. На этом интервале уравнение Шрёдингера совпадает с \! ( 4 ). Граничные условия \! ( 2 ), \! ( 3 ) для волновой функции запишутся в виде

\! \psi(0)=0, \qquad ( 6 )
\! \psi(a)=0. \qquad ( 7 )

Ищем решения в виде \! A\sin{(\sqrt{2mE/\hbar}x+\delta)}. С учётом граничных условий получаем для собственных значений энергии \! E_n

\! E_n=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}n^2 \qquad ( 8 )

и собственных функций с учётом нормировки

\! \psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{\pi n}{a}x}. \qquad ( 9 )


Численные решения

Сколько-нибудь сложный потенциал в уравнении \! ( 1 ) уже не позволяет найти аналитическое решение и, поэтому требуется привлекать численные методы для решения уравнения Шрёдингера. Одним из самых простых и доступных из них является метод конечных разностей, в котором уравнение \! ( 1 ) заменяется уравнением в конечных разностях на выбранной сетке с узлами в точках \! x_n, а именно, заменяя вторую производную по формуле

\! \frac{d^2y(x)}{dx^2}=\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}, \qquad ( 10 )

где \! h — шаг дискретизации, \! n — номер узла сетки, получим

\! -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+U_ny_n=Ey_n, \qquad ( 11 )

где \! U_n — значение потенциальной энергии \! U(x) на узлах сетки. Пусть \! a некоторый характерных масштаб потенциала, тогда уравнение \! ( 11 ) можно записать в безразмерном виде

\! -y_{n-1}+(2+\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2})y_n-y_{n+1}=h^2\frac{2ma^2E}{\hbar^2}y_n. \qquad ( 12 )

Если обозначить безразмерные величины потенциальной энергии \! v_n=\frac{2ma^2U_n}{\hbar^2} и собственные значения \! e=\frac{2ma^2E}{\hbar^2}, то уравнение \! ( 12 ) упростится

\! -y_{n-1}+(2+u_n-e)y_n-y_{n+1}=0. \qquad ( 13 )

Под последним выражением надо понимать систему уравнений для всех возможных индексов \! n.

Программный код

Используя уравнение в конечных разностях \! ( 13 ) запишем дискретный аналог для уравнения \! ( 1 ) с нулевым потенциалом

\! -y_{n-1}+(2-e)y_n-y_{n+1}=0. \qquad ( 14 )

Следующий программный код (Matlab) предназначен для решения уравнения \! ( 14 ) с нулевой потенциальной энергией и граничными условиями \! ( 2 ), \! ( 3 ).

 clear;
 
 %Размер матрицы
 N=400;
 %Число собственных значений
 Roots=4;
 %правая граница
 a=10;
 %Шаг дискретизации
 step=a/(N+1);
 %Сетка
 s=step:step:a-step;
 %Потенциальная энергия
 v=0*s;
 %Трёхдиагональная матрица
 for i=1:N
     A(i,i)=2+v(i)*step*step;
 end
 for i=1:N-1
     A(i,i+1)=-1;
     A(i+1,i)=-1;
 end
 
 %Вычисление собственных значений и собственных векторов
 [psi,e]=EIGS(A,Roots,'SM');
 for i=1:Roots
     e(i,i)=e(i,i)/(step*step);
 end
 %Вывод
 e
 plot(s,psi(:,1),'k',s,psi(:,2),'b',s,psi(:,3),'g',s,psi(:,4),'r')

Собственные значения

 e =
 
     1.5790         0         0         0
          0    0.8882         0         0
          0         0    0.3948         0
          0         0         0    0.0987

На рисунке представлены четыре волновые функции, соответствующие собственным значениям \! e.

Литература

  • Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Квантовая механика. М., Наука, 1974.
  • Н. Н. Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978.

Ссылки

  • Particle in a box
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home