Псевдообратные матрицы

Псевдообратные матрицы A + - это обобощение обратных матриц в математике и, в частности, в линейной алгебре. В этой статье рассказывается о псевдообращении Мура-Пенроуза, которое было независимо описано Э.Х. Муром [1] и Роджером Пенроузом [2]. Концепцию псевдообратных интегрирующих операторов в 1903 представил Фредгольм. Термин обобщенного обращения иногда используется как синоним для псевдообратных. Распространённое использование псевдообращения это лучшая апроксимация или "лучшее" (по наименьшим квадратам) решение системы линейных уравнений (смотрите далее в применении). Псевдообращение определено и нетождественно для всех матриц над действительными и комплексными числами. Псевдообратная матрица может быть вычеслена с помощью собственного представления матрицы.

Содержание

Определение

A + это не тождественное презообразование матрицы которое удовлетворяет следующим критериям:

  1. AA + A = A;
  2. A + AA + = A +       (A + является слабым обращением в мультипликативной полугруппе.)
  3. (AA + ) * = AA +       (Что значит, AA + - эрмитова матрица.)
  4. (A + A) * = A + A       (A + A - тоже эрмитова матрица.)

Здесь M * - это сопряжающее транспанирование матрицы M. Для матрицы над действительными числами верно: M * = MT.

Есть другой способ задания псевдообратной матрицы через предел обратных: A^+ = \lim_{\delta \to 0} (A^* A + \delta I)^{-1} A^* = \lim_{\delta \to 0} A^* (A A^* + \delta I)^{-1} (смотрите регуляризация Тохонова). Этот предел есть, даже если (AA * ) − 1 и (A * A) − 1 несуществуют.

Свойства

  • Псевдообращение обратимо, более того эта операция обратна себе:
    (A + ) + = A
  • Псевдообращение нулевой матрицы равно транспонированию.
  • Псевдообращение комутирует с транспонированием, сопряжением и сопряжающим транспонированием:
    (AT) + = (A + )T,
    \overline{A}^+ = \overline{A^+} и
    (A * ) + = (A + ) * .
  • Псевдообратное скалярного произведения A равно соответствующему произведению матрицы A + :
    A) + = α − 1A + , для α ≠ 0 .
  • Если псевдообратное для A * A уже известно, оно может быть использовано для вычисления A + :
    A + = (A * A) + A * .
  • Аналогично, если (AA * ) + уже известно:
    A + = A * (AA * ) + .

Особые случаи

Если столбцы матрицы A линейно независимы, тогда матрица A * A обратима. В таком случае, есть псевдообратная матрица задаётся формулой

A + = (A * A) − 1A * .

Это эквивалентно тому что в первой части определения через предел убирается слагаемое с δ. От сюда следует что A + - левое обратное для A:   A + A = I .

Если строчки матрицы A линейно независимы, тогда матрица AA * обратима. В таком случае, есть псевдообратная матрица задаётся формулой

A + = A * (AA * ) − 1.

Это эквивалентно тому что во второй части определения через предел убирается слагаемое с δ. От сюда следует что A + - правое обратное для A:   AA + = I .

Если и столбцы и строчки линейно независимы (что верно, для квадратных невырожденых матриц), псевдообращение равно обращению:

A + = A − 1.

Если A и B таковы что произведение AB определено и либо A либо B - унитарно, тогда (AB) + = B + A + .

Псевдообращение можно применять и к скалярам и векторам. Это подразумевает что их будут считать матрицами. Псевдообратный к скаляру x - ноль если x - ноль и обратный к x в противном случае:

x^+ = \left\{\begin{matrix} 0, & x=0; \\ x^{-1}, & x \ne 0. \end{matrix}\right.

Псевдообратный нулевого вектора - транспонированый нулевой вектор. Псевдообратный инового вектора - сопряжонный транпонированый вектор делённый на квадрат своей длинны:

x^+ = \left\{\begin{matrix} 0^T, & x = 0; \\ {x^* \over x^* x}, & x \ne 0. \end{matrix}\right.

Для доказательства, достаточно проверить что эти определения соответствуют определяющему критерию псевдообращения.

Происхождение

Если (A * A) − 1 существует,

Ax = b
A * Ax = A * b
(A * A) − 1(A * A)x = (A * A) − 1A * b
x = (A * A) − 1A * b

что порождает понятие псевдообращения

A + = (A * A) − 1A * .

Вычисление

Пусть k - ранг матрицы матрицы A размера m \times n. Тогда A может быть представленна как A = BC, где B - матрица размера m \times k и C - матрица размера k \times n. Тогда

A + = C * (CC * ) − 1(B * B) − 1B * .

Если A имеет полнострочный ранг, тоесть k = m, тогда в качестве B может быть выбрана единичная матрица и формула сокращается до A + = A * (AA * ) − 1. Аналогично, если A имеет полностолбцовый ранг (тоесть, k = n), имеем A + = (A * A) − 1A * .

Простейший вычислительный путь получить псевдообратную матрицу - использовать собственное представление матрицы (СПМ).

Если A = UΣV * - собственное представление A, тогда A + = VΣ + U * . Для диагональной матрицы такой как Σ, псевдообратная вычисляется обращением каждого ненулевого элемента на диагонали.

Существуют оптимизированые подходы для вычисления псевдоинверсии блочных матриц.

Если псевдоинверсия известна для некой матрицы, и нужно найти псевдоинверсию для аналогичной матрицы, иногда она может быть вычислена спомощью специальных алгоритмов требующих меньших расчётов. В частности, если анологичная матрица отличается от начальной на один измененный, добавленный или удалённый столбец или строку - существуют накопительные алгоритмы которые могут использовать взаимосвязь между матрицами.

Примемение

Псевдоинверсия реализирует решение метода наименьших квадратов для системы линейных уравнений (СЛУ) [3].

Для данной системы Ax = b, ищем вектор x котрый минимизирует \|A x - b\|^2, где \|\,\cdot\,\| обозначает евклидову норму.

Общее решение неоднородной системы Ax = b представимо как сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы Ax = 0.

Лемма: Если (AA * ) − 1 существует, тогда решение x всегда представимо как сумма решения псевдооратного решения неоднородной системы и решения однородной системы:

x = A * (AA * ) − 1b + (1 − A * (AA * ) − 1A)y.

Доказательство:

Ax = AA * (AA * ) − 1 b + AyAA * (AA * ) − 1Ay
= b + AyAy
= b .

Здесь, вектор y случаен (с точностью до размерности). В двух других членах есть псевдообратная матрица A * (AA * ) − 1. Преписав её в форме A + , приведём выражение к форме:

x = A + b + (1 − A + A)y.

Первый член - псевдообратное решение. В терминах метода наименьших квадратов - это наилучшее приближение к настоящему решению. Это значит, что корректирующий член имеет минимальную евклидову норму. Следующий член даёт решение однородной системы Ax = 0, потому как (1 − A + A) - оператор проектирования на ядро оператора A, тогда как (A + A) = A * (AA * ) − 1A - оператор проектирования на образ оператора A.

Ссылки

  1.   Э. Х. Мур(E. H. Moore): On the reciprocal of the general algebraic matrix. Bulletin of the American Mathematical Society 26, 394-395 (1920)
  2.   Роджер Пенроуз: A generalized inverse for matrices. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 51, 406-413 (1955)
  3.   Роджер Пенроуз: On best approximate solution of linear matrix equations. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 52, 17-19 (1956)
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home