Формула Гаусса — Бонне

В дифференциальной геометрии формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Пусть Mкомпактное двумерное ориентированное риманово многообразие с границей \partial M. Обозначим через K гауссову кривизну M и через kg геодезическую кривизну \partial M. Тогда

\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M),

где χ(M) — эйлерова характеристика M.

В частности, если у M нет границы, получаем

\int_M K\;dA=2\pi\chi(M)

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

Эта формула допускает обобщения на старшие размерности, см. обобщённая формула Гаусса — Бонне.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home