Формула Герона

Фо́рмула Геро́на позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

где р — полупериметр треугольника: p = \frac{a + b + c}2.

История

Формула содержится в «Метрике» древнегреческого математика Герона Александрийского (1 в.) и названа в его честь. Он интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых также являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник. Формула была известна Архимеду (3 в. до н. э.).

Доказательство

S={1\over2}ab\cdot\sin{\gamma},

где \ \gamma — угол треугольника, противолежащий стороне c. По теореме косинусов:

c^2 = a^2+ b^2 - 2ab\cdot \cos \gamma,

Отсюда:

\cos \gamma = {a^2+ b^2 - c^2 \over 2ab},

Значит,

\ \sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)=

={{2ab-a^2-b^2+c^2}\over 2ab}\cdot{{2ab+a^2+b^2-c^2}\over 2ab}=

={{c^2-(a-b)^2}\over 2ab}\cdot{{(a+b)^2-c^2}\over 2ab}={1\over 4a^2b^2}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c).

Замечая, что a + b + c = 2p, a + b − c = 2p − 2c, a + c − b = 2p − 2b, c − a + b = 2p − 2a, получается:

\sin\gamma={2\over ab}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.

Таким образом,

S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},

ч.т.д.

Обобщения

Площадь вписанного четырёхугольника вычисляется по формуле Брахмагупты:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},

где p=\frac{a+b+c+d}2 — полупериметр четырёхугольника. Треугольник является предельным случаем описанного четырёх угольника при устремлении длины одной и сторон к нулю.

Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде:

16 S^2 = \begin{vmatrix} 0 & a^2 & b^2 & 1 \\ a^2 & 0 & c^2 & 1 \\ b^2 & c^2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}

Она является частным случаем определителя Кэли — Менгера для вычисления гиперобъёма симплекса.