Инверсия (геометрия)

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности или сферы есть преобразование определённого типа евклидовой плоскости или евклидова пространства с выколотой точкой.

Содержание

Определение

Пусть в евкидовой плоскости задана некоторая окружность Γ с центром O (называемым полюсом инверсии, эта точка выколота) и радиусом R. Инверсия точки P относительно Γ есть точка P', лежащая на луче OP такая, что

|OP'|\cdot|OP|=R^2.

Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» \infty и считают её инверсией O, а O инверсией \infty. В этом случае, инверсия является преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы.

Свойства

Пусть i обозначает инверсию относительно окружности Γ с центром O, тогда

  • Инверсия является инволюцией, т.е. i(i(P)) = P для любой P;
  • прямая проходящая через O переходит в себя;
  • прямая не проходящая через O переходит в окружность проходящую через O;
  • окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O;
  • окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящей через O (но образ её центра не является центром образа);
  • инверсия является антиголоморфным отображением комплексной плоскости. В частности:
  • Окружность или прямая перпендикулярная к Γ переходит в себя.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в точке начале координат задаваться соотношением:

(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right).

если точку плоскости задать одной комплексной координатой z = x + iy то это выражение можно переписать как

z\mapsto (\bar z)^{-1},

где \bar zкомплексно сопряжённое число для z.

В общем случае, инверсия относительно окружности с центром в точке O = (x0,y0) и радиусом r можно задать следующими соотношениями:

(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right).

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса r с центром в точке начале координат задаваться соотношением:

(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho)

Подобные соотношения в общем случае достаточно громоздки.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home