Интегральное уравнение Фредгольма

В математике интегральное уравнение Фредгольма — это интегральное уравнение, ядром которого является ядро Фредгольма. Названо так по имени изучавшего его Ивара Фредгольма. Со временем выросло в самостоятельный раздел функционального анализа — теорию Фредгольма, которая изучает ядра Фредгольма и операторы Фредгольма.

Содержание

Общая теория

Общая теория, основанная на уравнениях Фредгольма, известна как теория Фредгольма. В теории рассматривается интегральное преобразование специального вида

\psi(s) = \int_a^b K(s, t) \varphi(t) dt,

где функция K называется ядром уравнения, а оператор A, определяемый как

A\varphi = \int_a^b K(s, t) \varphi(t) dt, называется оператором Фредгольма.

Одним из основополагающих результатов является факт, что ядро K есть компактный оператор, известный иначе как оператор Фредгольма. Компактность может быть показана с помощью равномерной непрерывности. Как к оператору, к ядру может быть приложена спектральная теория, изучающая спектр собственных значений.

Уравнение первого рода

Неоднородное уравнение Фредгольма первого рода имеет вид:

g(t)=\int_a^b K(t,s)f(s)\,ds

а задача состоит в том, что при заданной непрерывной функции ядра K(t, s) и функции g(t) найти функцию f(s).

Если ядро является функцией разности своих аргументов, то есть K(t,s) = K(ts), и пределы интегрирования \pm \infty, тогда правая часть уравнения может быть переписана в виде свёртки функций K and f, а, следовательно, решение даётся формулой

f(t) = \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[ {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t)](\omega)} \right]=\int_{-\infty}^\infty {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over \mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t} d\omega

где \mathcal{F}_t и \mathcal{F}_\omega^{-1} — прямое и обратное преобразования Фурье соответственно.

Уравнение второго рода

Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода выглядит так:

f(t)= \lambda \phi(t) - \int_a^bK(t,s)\phi(s)\,ds

Задача состоит в том, чтобы имея ядро K(t, s) и функцию f(t), найти функцию φ(t). При этом существование решения и его множественность зависит от числа λ, называемого собственным числом. Стандартный подход решения использует понятие резольвенты; записанное в виде ряда решение известно как ряд Лиувилля-Неймана.

\varphi(s) = \int_a^b K(s, t) \varphi(t) dt + f(s).

Ссылки

Рекомендуемая литература

А. Д. Полянин, А. В. Манжиров. Справочник по интегральным уравнениям. Москва, Физматлит, 2003.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home