Парадокс Хаусдорфа

Парадокс Хаусдорфа утверждает, что существует счётное подмножество T двумерной сферы S² такое, что \bar S^2, S^2 с вырезанным T, может быть разбито на три подмножества A, B и C так, что подмножества A, B, C и B ∪C являются попарно конгруэнтными. Парадокс Хаусдорфа — вовсе не логический парадокс, это теорема, только весьма неинтуитивная (в частности, две копии \bar S^2 можно разбить на шесть кусков и составить из них три копии \bar S^2!)

Этот парадокс был опубликован^[1] в 1914 году, в его доказательстве используется аксиома выбора. Доказательство более известного парадокса Банаха — Тарского основано на той же идее Хаусдорфа. Как и парадокс Банаха — Тарского, парадокс Хаусдорфа нельзя ни доказать, ни опровергнуть без принятия аксиомы выбора, а при принятии некоторых альтернативных аксиом можно доказать его отрицание (т.е. невозможность такого разбиения).

Парадокс доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал конечно-аддитивную меру, который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы тот же объём.

Иногда под парадоксом Хаусдорфа понимают другое утверждение, доказанное в той же статье, что и предыдущее. Оно утверждает, что единичный отрезок можно разбить на счётное число кусков и с помощью одних только сдвигов составить отрезок длины два. Это показывает, что на прямой нет меры, определённой на всех подмножествах и инвариантной относительно сдвигов. Тем не менее, возможно определить конечно-аддитивную меру для всех ограниченных подмножеств плоскости (как и прямой), такую, что равносоставленные множества будут иметь равную меру.

Идея доказательства

Здесь мы докажем упрощённый вариант парадокса, мы покажем, что сферу с выколотым счётным числом точек (назовём её \bar S^2) можно разбить на три попарно конгруэнтных куска A, B и C такие, что B ∪C конгруэнтно подмножеству A. Как и парадокс Хаусдорфа, это утверждение доказывает, что на двумерной сфере нельзя ввести функционал «площади», который бы был определён на всех подмножествах и такой, что конгруэнтные множества имели бы одинаковый объём.

В доказательстве делаются следующие шаги:

Находим специальное разбиение некоторой группы с двумя образующими $Γ$ на три подмножества.
Строим свободное изометрическое действие этой группы на \bar S^2.
Используем разбиение $Γ$ и аксиому выбора для того, чтобы произвести нужное разбиение сферы.

Шаг 1

Рассмотрим группу $Γ$ с двумя образующими $a$ и $b$ и соотношениями $a 2 = 1$ и $b 3 = 1$ (иначе говоря, \Gamma={\mathbb Z}_2*{\mathbb Z}_3, где * обозначает свободное произведение групп). Группа $Γ$ состоит из пустого слова, которое мы обозначаем $1$ (это единица нашей группы) и всех конечных слов из трёх символов $b, b - 1$ и $a$ такие, что $b$ и $b - 1$ чередуются с $a$ . Таким образом, все элементы (кроме единицы) можно представить единственным образом как a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots b^{\pm 1}a или b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\dots b^{\pm 1}a или a b^{\pm 1}ab^{\pm 1}\dots ab^{\pm 1} или b^{\pm 1}ab^{\pm 1}a\dots ab^{\pm 1}.

Группу $Γ$ можно разбить следующим образом: пусть {\mathbb A} будет множество всех слов, начинающихся с $b$ , {\mathbb B} будет множество всех слов, начинающихся с $b - 1$ и {\mathbb C} будет множество всех остальных элементов $Γ$ . Ясно, что

\Gamma={\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup{\mathbb C},

т. е. мы разбили нашу группу $Γ$ на три непересекающихся подмножества. Также

{\mathbb A}=b {\mathbb C},

{\mathbb B}=b^{-1} {\mathbb C},

{\mathbb A}\cup{\mathbb B}\subset {\mathbb A}\cup{\mathbb B}\cup \{1,a\}=a{\mathbb C}.

На рисунке справа изображён граф Келли группы $Γ$ , и подмножества {\mathbb A},\ {\mathbb B} и {\mathbb C} отмечены соответственно красным, синим и зелёным цветом.

Шаг 2

Несложно показать, что существует представление $Γ$ с помощью вращений сферы такое, что полученное действие свободно на всей сфере, кроме счётного числа точек. Давайте выкинем из сферы это счётное множество и назовём остаток \bar S^2. (На самом деле, если взять два поворота сферы на углы $π$ и $2π / 3$ общего положения и сопоставить их образующим $a$ и $b$ , то индуцированное действие $Γ$ будет удовлетворять этому условию).

Шаг 3

Выберем в каждой орбите $Γ$ на \bar S^2 по одному элементу, назовём полученное множество $X$ (как раз для построения $X$ нам и нужна аксиома выбора). Тогда наша колотая сфера \bar S^2 представляется как объединение следующих непересекающихся множеств:

\bar S^2=A\cup B\cup C,

где

A= {\mathbb A}X,\ B={\mathbb B}X,\ C={\mathbb C}X .

Используя тот же приём, что и в шаге 1, мы получаем:

A = b C,

B = b - 1 C,

A\cup B \subset a C,

и, так как $a$ и $b$ являются изометриями, мы получаем, что А, B и C конгруэнтны и А ∪B конгруэнтно подмножеству C.

Литература

↑ F. Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen, Mathematische Annalen, vol 75. (1914) pp. 428-434.