Дроби Фарея

Дроби Фарея (ряды Фарея), также последовательность Фарея или таблица Фарея (англ. Farey Fractions, Farey Sequence) — семейство конечных подмножеств рациональных чисел.

Содержание

Определение

Последовательность Фарея n-ного порядка представляет собой возрастающий ряд всех несократимых дробей, знаменатель которых меньше или равен n:

  • F_n := \left\{\frac{a_i}{b_i} : 0 \leq a_i \leq b_i \leq n, GCD(a_i,b_i)=1, \frac{a_i}{b_i}<\;\frac{a_{i+1}}{b_{i+1}}\right\}.

Пример

Последовательности Фарея для n=1..4:

  • F_1=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{1} \right\}
  • F_2=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1} \right\}
  • F_3=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1} \right\}
  • F_4=\left\{\frac{0}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{1} \right\}

Свойства

Последовательность Фарея порядка n+1 можно построить из последовательности порядка n по следующему правилу:

1. Копируем все элементы последовательности порядка n

2. Если сумма знаменателей в двух соседних дробях последовательности порядка n дает число не больше чем n+1, встраиваем между этими дробями новую дробь с числителем, равным сумме числителей соседних дробей и знаменателем, равным сумме знаменателей соседних дробей.

История

Биография Фарея занимает двадцать строк словарной статьи, в которой расписаны его заслуги, как геолога. Однако та единственная работа, обессмертившая его имя, там не упомянута. (Готтфри Харди)

Джон Фарей был геологом по образованию, его единственным вкладом в математику были дроби, названные его именем. В 1816 году была опубликована статья Фарея «On a curious property of vulgar fractions» («О интересном свойстве обыкновенных дробей»), в которой Фарей определил последовательность Fn и описал то самое «интересное свойство» итеративного построения последовательностей/

Эта статья Фарея дошла до Коши, который в том-же году опубликовал доказательство. Интересен тот факт, что «интересное свойство» и сама последовательность, описанные Фареем в 1816 году было использовано Харосом в его статье 1802 года об аппроксимации десятичных дробей дробями обыкновенными. В вопросе авторства историки расходятся: Харди считает Хароса исходным автором последовательности, однако МакТьютор указывает на тот факт, что Харос не дал ни описания последовательности в общем виде, ни доказательства «интересного свойства».

Смотри также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home