Формулы Эйлера
- Эта статья посвящена формуле Эйлера в комплексном анализе. Формула Эйлера в алгебраической топологии рассмотрена в статье Эйлерова характеристика. См. также статью Теорема Эйлера.
Формулы Эйлера — называются по имени Леонарда Эйлера, который их ввёл, и связывают тригонометрические функции с комплексной экспонентой.
или
\sin x=\frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}),
Благодаря формула Эйлера появилась так называемая тригонометрическая запись комплексного числа: x=a+ib=|x|(\cos \varphi + i \sin \varphi) =|x| e^{i\varphi}
Также значительным результатом формул Эйлера можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень: x=|x|e^{i\varphi}, x^n=|x|^ne^{ni\varphi}. Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа x в степень n его расстояние до центра возводится в степень n а угол поворота относительно оси OX увеличивается в n раз.
Формула возведения в степень верна не только для целых n но и для рациональных. В частности комплексная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа, что и используется при доказательстве Основной Теоремы Алгебры: "Многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней". Но это тема другой статьи ;-).
(По данным лекций Слипенко А.К., Украина, Донецкий Национальный Университет)
Начальная страница