Формула конечных приращений

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка c\in (a;b), что

\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c).

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Доказательство

Введём функцию F(x) = f(x)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a). Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f(a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а f'(c) равна как раз необходимому числу.

См. также

• теорема Коши — расширенный вариант этой теоремы.