Экспонента

Экспонента (exp) — функция exp(x) = e^x, где e — основание натуральных логарифмов.

Содержание 1 Основные свойства 2 Дифференциальные уравнения 3 Формальное определение 4 См. также

Основные свойства

Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и больше нуля. Обратная функция к ней — логарифм.

Экспонента бесконечно дифференцируема. Ее производная в нуле равна 1, поэтому касательная в этой точке проходит по углом 45°.

Основное функциональное свойство экспоненты: exp(a + b) = exp(a)exp(b). Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.

Дифференциальные уравнения

Экспонента является решением дифференциального уравнения y' = y с граничным условием y(0) = 1. Через экспоненту также выражаются решения других линейных дифференциальных уравнений.

Формальное определение

Экспоненциальная функция может быть определена двумя эквивалентными способами. Через ряд Тейлора:

\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}

или через предел:

\exp(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+x/n)^n

Здесь x — любое вещественное, комплексное, p-адическое число или ограниченный линейный оператор.

См. также

• Экспонента комплексного переменного
• Показательная функция