Экспонента
Экспонента (exp) — функция exp(x) = ex, где e — основание натуральных логарифмов.
Содержание |
Основные свойства
Экспонента определена на всей вещественной оси. Она всюду возрастает и больше нуля. Обратная функция к ней — логарифм.
Экспонента бесконечно дифференцируема. Ее производная в нуле равна 1, поэтому касательная в этой точке проходит по углом 45°.
Основное функциональное свойство экспоненты: exp(a + b) = exp(a)exp(b). Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид exp(ct), где c — некоторая константа.
Дифференциальные уравнения
Экспонента является решением дифференциального уравнения y' = y с граничным условием y(0) = 1. Через экспоненту также выражаются решения других линейных дифференциальных уравнений.
Формальное определение
Экспоненциальная функция может быть определена двумя эквивалентными способами. Через ряд Тейлора:
\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}
или через предел:
\exp(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+x/n)^n
Здесь x — любое вещественное, комплексное, p-адическое число или ограниченный линейный оператор.