Кольцо (алгебра)
В абстрактной алгебре, кольцо́ — естественное обобщение целых чисел. Чуть точнее, это множество, на котором заданы две операции, «сложение» и «умножение», со свойствами, напоминающими сложение и умножение целых чисел.
Содержание |
Определения
Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:
- \forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right) — коммутативность сложения;
- \forall a, b, c \in R \left(a + (b + c) = (a + b) + c\right) — ассоциативность сложения;
- \exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right) — существование нейтрального элемента относительно сложения;
- \forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right) — существование обратного элемента относительно сложения;
- \forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right. — дистрибутивность.
Кольца могут обладать следующими свойствами:
- ассоциативность умножения: \forall a, b, c \in R \left(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\right) (ассоциативное кольцо);
- наличие единицы: \exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right) (кольцо с единицей);
- коммутативность умножения: \forall a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right) (коммутативное кольцо);
- отсутствие делителей нуля: \forall a, b \in R \left(a \times b = 0 \Rightarrow a = 0 \or b = 0\right).
Обычно под кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей.
Кольца, для которых выполнены все вышеперечисленные условия, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).
Связанные определения
- Непустое подмножество A\subset R назывется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R.
- Ассоциативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.
- Коммутативное тело называется полем.
Примеры
- \mathbb{Z} — целые числа (с обычным сложением и умножением).
- \mathbb{Z}_n — кольцо вычетов по модулю натурального числа n.
- \mathbb{Q} — кольцо рациональных чисел, являющееся полем.
- \mathbb{R} — кольцо вещественных чисел, являющееся полем.
- \mathbb{R}[x_1,x_2,...,x_n] — кольцо многочленов от n переменных над полем \mathbb{R}.
- Кольцо когомологий
См. также
- Простое кольцо
- Полупростое кольцо
- Кольцо главных идеалов
- Артиново кольцо
- Нётерово кольцо
- Первичное кольцо
- Полупервичное кольцо
- Цепное кольцо
- Полуцепное кольцо
- Дистрибутивное кольцо
- Кольцо Безу
- Локальное кольцо
- Полулокальное кольцо
Начальная страница