Астроида

Астроида — плоская кривая описываемая точкой М окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида это гипоциклоида с модулем m = 4.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных координатах:

| x | ^{2 / 3} + | y | ^{2 / 3} = R^{2 / 3}

параметрическое уравнение:

x = Rcos³t    y = Rsin³t

Свойства

• Имеются четыре каспа.
• Длина дуги от точки с 0 до t\le \pi/2

l=\frac32R\sin^2t

• Длина всей кривой 6R.

• Радиус кривизны:

r(t)=\frac32R\sin2t

• Площадь, ограниченная кривой:

S = 4R²

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Астроида является aлгебраической кривой 6-го порядка,