Билинейная форма

Билине́йной формой называется функция A\colon L\times L\to \mathbb R, где L — произвольное линейное пространство, линейная по каждому из аргументов:

A(x + z,y) = A(x,y) + A(z,y),

A(x,y + z) = A(x,y) + A(x,z),

A(λx,y) = λA(x,y),

A(x,λy) = λA(x,y).

Свойства

• Билинейная форма называется симметричной (кососимметричной), если для любых x,y\in L выполнено A(x,y) = A(y,x) (A(x,y) = − A(y,x)).

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной.

• При фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n в L билинейная форма однозначно определяется матрицей

\begin{pmatrix} A(e_1, e_1) & A(e_1, e_2) & \ldots & A(e_1, e_n) \\ A(e_2, e_1) & A(e_2, e_2) & \ldots & A(e_2, e_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A(e_n, e_1) & A(e_n, e_2) & \ldots & A(e_n, e_n) \end{pmatrix}

Для любых x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n и y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n

A(x,y)=\begin{pmatrix}x^1 & x^2 & \ldots & x^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A(e_1, e_1) & A(e_1, e_2) & \ldots & A(e_1, e_n) \\ A(e_2, e_1) & A(e_2, e_2) & \ldots & A(e_2, e_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A(e_n, e_1) & A(e_n, e_2) & \ldots & A(e_n, e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix}