Циссоида Диокла

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA=2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

y^2 = \frac {x^3}{2a - x} \qquad \qquad (1) \,\!.

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

\rho = \frac{2a \sin^2 \phi}{ \cos \phi} \,\!.

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

\rho = \frac{2a \left( 1 - \cos^2 \phi \right)}{ \cos \phi} = \,\!
= 2a \left( \frac {1}{ \cos \phi} - \cos \phi \right)= \,\!
= 2a \left( \sec \phi - \cos \phi \right) \,\!

Параметрическое уравнение циссоиды:

x = \frac{2a} {1 + u^2} \,\!
y = \frac{2a}{u \left( 1 + u^2 \right)} \,\!, где
u = \tan \phi \,\!.

Содержание

История

Впервые уравнение циссоиды исследовал греческий математик Диокл (Diocles) во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος («киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Рене де Слюз (Rene de Sluze).

Особенности кривой

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс. Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках B и D, которые принадлежат диаметру этой окружности. Циссоида имеет асимптоту UV, уравнение которой: x = 2a, где a — радиус вспомогательной окружности и один касп.

Площадь между циссоидой и асимптотой

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды KOL и асимптотой UV S1. Уравнение верхней ветви OL:

y = \sqrt { \frac {x^3} {2a-x}} \qquad \qquad \,\!   (2)

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до 2a.

\frac {1}{2} S_1 = \int_{0}^ {2a} \sqrt { \frac {x^3} {2a-x}}\,dx \qquad \,\!   (3)

Подстановка:

u^2 = 2a - x, \qquad x = 2a - u^2, \qquad dx = -2udu.

Пределы интегрирования:

x = 0 \Rightarrow\; u = \sqrt {2a}, \qquad x = 2a \Rightarrow\; u = 0

Интеграл (3) преобразуется к виду:

\frac{1}{2}S_1 = -2 \int_{ \sqrt{2a}}^{0} \sqrt{ \left(2a - u^2 \right)^3}\,du = \,\!
= -2 \left( \frac{u}{8} \left(10a - 2u^2 \right) \sqrt{2a - u^2} + \frac{3a}{2} \arcsin \frac{u}{ \sqrt{2a}} \right) \begin{cases} 0 \\ \sqrt{2a} \end{cases} = \frac{3 \pi a^2}{2} \,\!.

Итак:

\frac {1}{2}S_1 = \frac{3 \pi a^2}{2} \,\!

Площадь S1 равна:

S_1 = 3 \pi a^2 \,\!.

Объём тела вращения

Объём (V1) тела, образаванного при вращении ветви OL вокруг оси абсцисс, расчитывается так:

V_1 = \pi \int_{0}^{2a} \frac{x^3}{2a - x} \,dx = \qquad \,\!  
= \pi \int_{0}^{2a} \left(-x - 2ax - 4a^2 + \frac{8a^3}{2a - x} \right)\,dx = \,\!
= - \frac{44 \pi a^3}{3} - 8 \pi a^3 \left( \ln \left(2a - x \right) \right) \begin{cases} 2a \\ 0 \end{cases} \,\!.

Если x \Rightarrow\; 2a, то \ln {\left(2a - x \right)} \Rightarrow\; - \infty, то есть V_1 \Rightarrow\; \infty.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home