Уравнения Гамильтона-Якоби

В физике и математике, уравнения Гамильтона — Якоби возникают из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, нелинейному дифференциальному уравнению, чьё решение описывает поведение динамической системы. В противоположность с уравнениями движения Гамильтона, которые содержат по одному дифференциалу по одной переменной в каждом уравнении. Уравнение Гамильтона-Якоби помогает решить задачу Кеплера элегантно. Если гамильтониан имеет вид H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t), то уравнение Гамильтона-Якоби запишется в виде

H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.

Здесь S обозначает классическое действие.

Содержание

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильона-Якоби немедленно следует из того факта, что для любой генерирующей функции S(q,p',t) (пренебрегая индексами), уравнения движения не изменяются для H(q,p,t) и H'(q',p',t)

(1) \qquad {\partial S \over \partial q} = p, \qquad {\partial S \over \partial p'} = q', \qquad H' = H + {\partial S \over \partial t}

Новые уравнения движения становятся

(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad {\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.

Уравнение Гамильтона-Якоби появляется из специфической генерирующей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются и

(3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0.

Таким образом, в штрихованной системе координат, система совершенно стационарна в фазовом пространтсве. Однако, мы еще не определили, при помощи какой генерирующей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат, таким образом мы используем тот факт что

H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.

Поскольку уравнение (1) даёт p=\partial S/\partial q это можно записать

H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,

что является уравнением Гамильтона-Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона-Якоби часто решают методом разделения переменных

S=S_1(q_1;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+S_2(q_2;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+\cdots+S_n(q_n;\alpha_1,\dots,\alpha_n;t)+at,

где αi and a произвольная константы интегрирования которые возникают из решения дифференциального уравнения первого порядка от (n + 1)-переменных, и также канонических импульсов p' в штрихованной системе координат. Мы использовали имя переменной α чтобы выделить тот факт, что в штрихованной системе координат все импульсы постоянны, как показывает уравнение (3). Таким образом из уравнения (1),

(4) \qquad q'=\beta={\partial S(q,\alpha,t) \over \partial \alpha}.

Наконец, если мы обратим уравнение (4), мы можем написать q в терминах констант α и β и также времени t. Это полностью решает систему - α, и β определяют начальные условия системы, и решение задаётся обращением уравнения (4), которое говорит Вам положение в любой будущий момент времени. Причина в том, что существует два начальных условия для каждой координаты, что каждая координата имеет начальную значение но также и начальный импульс, который должен быть включён в решение.

Ссылки

  • H. Goldstein (2002). Classical Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0201657023.
  • A. Fetter and J. Walecka (2003). Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. ISBN 0486432610.

Смотрите также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home