Многомерный узел

Многомерный узелизотопический класс вложений сферы в сферу. Более точно, n-мерным узлом коразмерности q называется пара (Sn + q,Kn), состоящая из ориентированной сферы Sn + q и ее ориентированного подмногообразия Kn, гомеоморфного сфере Sn. Два узла k_1=(S^{n+q},K_1^n) и k_2=(S^{n+q},K_2^n) называются эквивалентными, если существует изотопия сферы Sn + q, переводящая K_1^n на K_2^n с сохранением ориентации. В зависимости от того, в какой категории понимаются термины «подмногообразие» и «изотопия» в предыдущих определениях, говорится о гладких, кусочно линейных или топологических многомерных узлах.

Заметьте, что подмногообразие K_1^n гладкого узла может иметь и нестандартную дифференцируемую структуру.

n-мерный узел коразмерности q, изотопный стандартному вложению, называется тривиальным, или незаузленным.

Узлы коразмерности 1

Изучение многомерных узлов коразмерности 1 связано с гипотезой Шёнфлиса. Всякий топологический узел коразмерности 1 тривиален. Это же верно и для кусочно линейных и гладких узлов, если n\not=3, 4.

Узлы коразмерности 2

Изучение многомерных узлов коразмерности 2, которые в дальнейшем будут называтцся просто узлами, проходит почти аналогично во всех трех категориях (Diff, Pi, Top). При n\ge 5 всякий топологический узел переводится изотопией в гладкий. Однако существуют топологические трехмерные узлы в S5 не эквивалентные и даже не кобордантные гладким узлам.

Множество изотопических классов n-мерных узлов (каждой категории) образует абелеву полугруппу относительно связного суммирования. Известно, что при n = 1 в этой полугруппе всякий элемент представляется в виде конечной суммы простых, то есть нетривиальным образом неразложимых элементов, и такое разложение единственно.

n-мерный узел k = (Sn + 2,Kn) тривиален тогда и только тогда, когда \pi_i(S^{n + 2}\backslash K^n)=\pi_i(S^1) при всех i \le \frac{n+1}2.

Внешностью гладкого узла k = (Sn + 2,Kn) называется дополнение X открытой трубчатой окрестности Kn в Sn + 2. При n\ge 2 для всякого n-мерного узла k существует такой узел τ(k), что всякий узел, внешность которого диффеоморфна внешности узла k, эквивалентен либо k, либо τ(k). Если X1, X2 — внешности двух гладких n-мерных узлов, n\ge 3, и \pi_1(X_1)=\pi_1(X_2)=\Z, то следующие утверждения равносильны:

  1. X1, и X2 диффеоморфны,
  2. пары (X_1, \partial X_1) и (X_2, \partial X_2) гомотоппчески эквивалентны.

Эти результаты сводят проблему классификации узлов к гомотопической классификации пар (X, \partial X) и к решению вопроса о том, определяет ли внешность тип узла, то есть верно ли равенство k = τ(k)? Были найдены двумерные узлы в S4, для которых k\not=\tau(k).

Если G — группа узла (т. е. G = π1(X)), то G/[G, G]=\Z, H_2(G) = \mathbb Q, вес группы G (т. е. минимальное число элементов, не содержащихся ни в одном собственном нормальном делителе) равен 1. При n\ge3 эти свойства полностью описывают класс групп n-мерных узлов. Группы одномерных и двумерных узлов обладают рядом дополнительных свойств.

Внешность X обладает единственным бесконечным циклическим накрытием p:\tilde X\to X, которое называется бесконечным циклическим накрытием узла. Гомологии H_*(\tilde X) являются \Z-модулями. Их инварианты Александера являются инвариантами узла.

Узлы коразмерности >2

Кусочно линейные и топологические многомерные узлы коразмерности \ge 3 тривиальны. В гладком случае это не так. Множество изотопических классов гладких n-мерных узлов коразмерности q\ge 3 совпадает при n\ge5 с множеством θ(n,q) классов кобордизмов узлов (два многомерных узла k_1=(S^{n+q},K_1^n) и k_2=(S^{n+q},K_2^n) называются кобордантными, если в S^{n+q}\times [0,1] вкладывается h-кобордизм между K_1^n\times 0 и K_2^n\times 1 гладкое). Множество θ(n,q) является абелевой группой относительно связного суммирования. В этой группе противоположным к классу многомерного узла является класс кобордизмов узла с обращеной ориентацией. Имеется естественный гомоморфизм \theta(n,q) \to \theta(n) где θ(n) — группа n-мерных гомотопических сфер; этот гомоморфизм сопоставляет узлу дифференцируемую структуру вложенной сферы. Ядро этого гомоморфизма Σ(n,q), совпадает с множеством изотоппческих классов стандартной сферы Sn в Sn + q. Если 2q > n + 3, то группа Σ(n,q) тривиальна. Если 2q\le n+3 и n\not\equiv3\mod 4, то группы θ(n,q) и Σ(n,q) конечны. В случае, когда 2q\le n+3 и n\equiv3\mod 4, группы θ(n,q) и Σ(n,q) являются конечно порожденными абелевыми группами ранга 1.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home