P-адическое число

Правильный заголовок этой статьи — p-адическое число. Он показан некорректно из-за технических ограничений.

p-ади́ческое число — элемент расширения поля рациональных чисел, получаемого на основе свойств делимости целых чисел на заданное простое число р. Это расширение есть пополнение поля рациональных чисел относительно p-адической нормы.

$p$ -адические числа были введены Куртом Гензелем (Kurt Hensel), первая публикация относится к 1897 году.

Поле $p$ -адических чисел обычно обозначается \mathbb Q_p.

Содержание

1 Метрическое построение
- 1.1 p-адическая норма
- 1.2 Построение
2 Алгебраическое построение
- 2.1 Целые p-адические числа
- 2.2 p-адические числа
3 Свойства
4 Применения
5 Литература

Метрическое построение

p-адическая норма

Любое рациональное число $r$ можно представить как r=p^n\frac ab где $a$ и $b$ целые чила не делящиеся на $p$ , а $n$ — целoe. Тогда $| r | p$ — $p$ -адическая норма $r$ — определяется как $p - n$ . Если $r = 0$ , то $| r | p = 0$ .

Построение

Поле $p$ -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d p$ определённой $p$ -адической нормой: $d p (x, y) = | x - y | p$ . Это построение аналогично построению вещественных чисел как пополнение рациональных.

Норма $| r | p$ продолжается по непрерывности до нормы на \mathbb Q_p.

Алгебраическое построение

Целые p-адические числа

Целым $p$ -адическим числом для произвольного простого $p$ называется бесконечная последовательность $x = {x 1, x 2,...}$ вычетов $x n$ по модулю $p n$ , удовлетворяющих условию x_n\equiv x_{n+1} \mod{p^n}. Сложение и умножение целых $p$ -адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей.

Относительно сложения и умножения целые p-адические числа образуют кольцо, которое содержит кольцо целых чисел, каждое целое число $a$ отождествляется с $p$ -адическим числом $x = {a, a,...}$ .

Кольцо целых $p$ -адических чисел обычно обозначается \mathbb Z_p.

Другими словами, кольцо целых $p$ -адических чисел определяется как проективный предел

\lim_{\leftarrow}\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z

колец \mathbb Z/{p^n}\mathbb Z вычетов по модулю $p n$ относительно естественных проекций \mathbb Z/{p^{n+1}}\mathbb Z\to\mathbb Z/{p^n}\mathbb Z.

p-адические числа

$p$ -адическим числом, называется элемент поля частных \mathbb Q_p кольца \mathbb Z_p целых $p$ -адических чисел. Это поле называется полем $p$ -адических чисел и содержит в себе поле рациональных чисел.

Свойства

Каждый элемент поля $p$ -адических чисел может быть представлен в виде

\sum_{i=n_0}^\infty a_ip^i

где

n 0

— некоторое целое число и

a i

целые неотрицательные числа не превосходящие

p - 1

. Такая сумма всегда сходится в метрике

d p

p-адическая норма $| x | p$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

|x-z|_p\le\max\{|x-y|_p,|y-z|_p\}.

Числа x\in \mathbb Q_p с условием |x|_p\le 1 образуют кольцо \mathbb Z_p целых $p$ -адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел \mathbb Z\subset \mathbb Q в норме $| x | p$ .
Числа x\in \mathbb Q_p с условием $| x | p = 1$ образуют мультипликативную группу и называемую $p$ -адическими единицами.
Совокупность чисел x\in \mathbb Q_p с условием $| x | p < 1$ является главным идеалом в \mathbb Z_p с образующим элементом $p$ .

метрическое пространство (\mathbb Z_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству, а пространство (\mathbb Q_p,d_p) гомеоморфно Канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных $p$ нормы $| x | p$ независимы, а поля \mathbb Q_p неизоморфны.
Для любых элементов r_∞, r₂, r₃, r₅, r₇, …, таких что r_\infty\in \mathbb R и r_p\in \mathbb Q_p, можно найти последовательность рациональных чисел x_n таких что для любого p, |x_i-r_p|_p\to 0 и |x_i-r_\infty|\to 0.

Применения

Если $F (x 1, x 2,..., x n)$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех $k$ сравнения

F(x_1,x_2,\cdots,x_n)\equiv 0\mod p^k

эквивалентна разрешимости уравнения

F(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0

в целых

p

-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях

p

-адических чисел при всех

p

Литература

Hensel, K., Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen, Jahresber. Deutsch. Math. Verein 6, 83-88, 1897. (Первая публикация о p-адических числах)
Беккер Б., Востоков С., Ионин Ю., 2-адические числа. Квант, № 2, 1979.

Числа

иррациональные | трансцендентные

p-адические