Телесный угол
Телесный угол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы. Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) числами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы единичного радиуса поверхность с площадью в 1 квадратную единицу. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан. Кроме того, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.
| Стерадиан | Кв. градус | Кв. минута | Кв. секунда | Полный угол | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 стерадиан = | 1 | (180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов |
(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103×107 кв. минут |
(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517×1010 кв. секунд |
1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла |
| 1 кв. градус = | (π/180)² ≈ ≈ 3,0461742×10−4 стерадиан |
1 | 60² = = 3600 кв. минут |
(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд |
π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068×10−5 полного угла |
| 1 кв. минута = | (π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595×10−8 стерадиан |
1/60² ≈ ≈ 2,7777778×10−4 кв. градусов |
1 | 60² = = 3600 кв. секунд |
π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335×10−9 полного угла |
| 1 кв. секунда = | (π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305×10−11 стерадиан |
1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938×10−8 кв. градусов |
1/60² ≈ ≈ 2,7777778×10−4 кв. минут |
1 | π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315×10−12 полного угла |
| Полный угол = | 4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан |
(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов |
(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066×108 кв. минут |
(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378×1011 кв. секунд |
1 |
Телесный угол обычно обозначается буквой Ω (или ω).
Вычисление телесных углов
Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен
\Omega = \int\int_S d\Omega = \int\int_S \sin \theta d\phi d\theta = \int\int_S \frac{(\mathbf{r}/r)\cdot \mathbf{n}dS}{r^2},
где r, θ, φ — сферические координаты элемента поверхности dS, r — его радиус-вектор, n — единичный вектор, нормальный к dS.
Величины некоторых телесных углов
- Треугольник с координатами вершин r1, r2, r3 виден из начала координат под телесным углом
\Omega = 2 \mathrm{arctg} \frac{(\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3)}{r_1r_2r_3 + (\mathbf{r}_1\cdot\mathbf{r}_2)r_3 + (\mathbf{r}_2\cdot\mathbf{r}_3)r_1 + (\mathbf{r}_3\cdot\mathbf{r}_1)r_2},
где (\mathbf{r}_1\mathbf{r}_2\mathbf{r}_3) — смешанное произведение данных векторов. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
- Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен \Omega = 2\pi (1 - \cos \frac{\alpha}{2}). Если известны радиус основания R и высота H конуса, то \Omega = 2\pi (1 - \frac{H}{\sqrt{R^2+H^2}}). Когда угол раствора конуса мал, \Omega \approx \frac{\pi \alpha^2}{4} (α выражено в радианах), или \Omega \approx 0,000239 \alpha^2 (α выражено в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5 градуса), составляет около 6×10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (т.е. полного телесного угла).
- Телесный угол при вершине куба (или любого другого прямоугольного параллелепипеда) равен 1/8 полного телесного угла, или π/2 стерадиан.
См. также
- Угол
- Двугранный угол
- Многогранный угол
Начальная страница