Локальная топологическая группа

Локальная топологическая группа

Локальная топологическая группатопологическая группа, в которой групповые операции определены лишь для элементов, достаточно близких к единице. Введение локальных топологических групп было инспирировано изучением локальной структуры топологических групп (т. е. их структуры в сколь угодно малой окрестности единицы).

Примером локальной топологической группы может служить любая окрестность единицы топологической группы . В теории локальных топологических групп принципиальным является вопрос о том, насколько общий характер имеет этот пример, т. е. является ли всякая локальная топологическая группа локально изоморфной некоторой топологической группе. В общем случае ответ отрицателен, но в важном частном случае конечномерных локальных групп Ли — положителен.

Как и в теории топологических групп, в теории локальных топологических групп можно определить понятия (локальных) подгрупп, нормальных делителей, смежных классов, факторгрупп.

Определение

Пусть G — топологическое пространство, e — некоторый его элемент, Θ и Ω — некоторые открытые подмножества в G и G\times G соответственно, e\in\Theta и i : \Theta\to G, m:\Omega\to G — некоторые непрерывные отображения. Тогда система (G,e,Θ,Ω,i,m) является локальной топологической группой, если выполнены условия:

  1. (e,g) и (g,e)\in \Omega для любого g\in G и m(e,g) = m(g,e) = g;
  2. если g,h,t\in G и (g, h), (h, t), (m(g, h), t), (g, m(h, t))\in \Omega, то m(m(g,h),t) = m(g,m(h,t));
  3. (g,i(g)) и (i(g), g)\in \Omega для любого g\in\Theta и m(g,i(g)) = m(i(g),g) = e.

Обычно локальную топологическую группу (G,e,Θ,Ω,i,m) обозначают просто через G; элемент m(g,h) обозначают через gh и называется произведением g и h; элемент i(g) обозначают через g − 1 и называется обратным к g; элемент е называется единицей локальной топологической группы G. Если (g, h)\in \Omega, то говорят, что произведение g и h определено; если g\in\Theta, то говорят, что для g определен обратный элемент.

Эти (определенные не для любых элементов) операции на G индуцируют структуру локальной топологической группы на любой окрестности единицы e в G.

Связанные определения

Пусть G1 и G2 — две локальные топологические группы

Локальным гомоморфизмом G1 в G2 называется, такое непрерывное отображение h некотирой окрестности U1 единицы e1 локальной топологической группы G1 в некоторую окрестность U2 единицы e2 локальной топологической группы G2, что h(e1) = e2 и для любых элементов g, h\in U_1, произведение которых в G1 определено, произведение элементов f(g) и f(h) в G2 также определено и f(gh) = f(g)f(h). Два локальных гомоморфизма G1 в G2 называют эквивалентными, если они совпадают в некоторой окрестности единицы локальной топологической группы G1. Пусть локальный гомоморфизм h является гомеоморфизмом окрестностей U1 и U2, а обратное отображение U_2\to U_1 является локальным гомоморфизмом G2 в G1. Тогда h называется локальным изоморфизмом G1 в G2. Две локальных топологических групп между которыми существует локальный изоморфизм, называются локально изоморфными. Например, любая локальная топологическая группа локально изоморфна любой своей окрестности единицы.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home