Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Содержание

Определение

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}). Параметризованное семейство \{X_t\}_{t\in T} случайных величин

X_t(\cdot) : \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T,

где T произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

  • Если T \subset \mathbb{R}, то параметр t \in T может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {Xt} называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например T \subset \mathbb{N}, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если T \subset \mathbb{R}^n, где n \ge 1, то параметр t \in T может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

Замечание

Пусть дан случайный процесс \{X_t\}_{t \in T}. Тогда для каждого фиксированного t\in T Xt — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход \omega \in \Omega, то X_t:T \to \mathbb{R} — детерминистическая функция параметра t. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции {Xt}.

Примеры

  • \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}, где Xi˜N(0,1) называется гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, и Y — случайная величина. Тогда
X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega)

является случайным процессом.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home