Обратная функция

Обра́тная функцияфункция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение

Пусть дано биективное отображение F: X \to Y. Тогда по определению биекции для каждого y \in Y существует в точности один x \in X, такой что F(x) = y. Таким образом построена функция y\in Y \mapsto x\in X. Эта функция называется обратной к F и обозначается F − 1.

Замечания

  • Областью определения F − 1 является множество Y, а областью значений множество X.
  • По построению имеем:
y = F(x) \Leftrightarrow x = F^{-1}(y)

или

F\left(F^{-1}(y)\right) = y,\; \forall y \in Y,
F^{-1}(F(x)) = x,\; \forall x \in X,

или короче

F \circ F^{-1} = \mathrm{id}_Y,
F^{-1} \circ F = \mathrm{id}_X,

где \circ означает композицию функций, а idX,idY - тождественные отображения на X и Y соответственно.

  • Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение y = F(x) относительно x.
  • Функция F является обратной к F − 1:
\left(F^{-1}\right)^{-1} = F.
  • Пусть F:X \subset \mathbb{R} \to Y \subset \mathbb{R} - биекция. Пусть F^{-1}:Y \to X её обратная функция. Тогда графики функций y = F(x) и y = F − 1(x) симметричны относительно прямой y = x.

Примеры

  • Если F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}_+,\; F(x) = e^x, то F − 1(x) = lnx.
  • Если F(x) = ax+b, \; x\in \mathbb{R}, где a,b\in \mathbb{R} фиксированные постоянные, то F^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home