Числа Бернулли

Числа Бернулли — последовательность рациональных чисел B0,B1,B2,... найденная Я. Бернулли в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел:

\sum_{n=1}^N n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^kC^s_{k+1}B_s N^{k+1+s}

Значения первых чисел Бернулли

n Bn
0 1
1 −1/2
2 1/6
3 0
4 −1/30
5 0
6 1/42
7 0
8 −1/30
9 0
10 5/66
11 0
12 −691/2730
13 0
14 7/6

Свойства

  • Все числа Бернулли с нечетными номерами, кроме B1, равны нулю, знаки B2n чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями при x = 0 многочленов Бернулли: Bn = Bn(0).

Коэффициентами разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды часто служат числа Бернулли. Например:

\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi,
  • x\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi,
  • \operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2.
  • Эйлер указал на связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2m:
B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}.
Из чего следует
Bn = − nζ(1 − n) для всех n.
  • \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|, n=1,2,...

Литература

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home