Определитель

Определи́тель или детермина́нт — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. С точностью до знака, определитель выражает коэффициент, на который умножаются объёмы при умножении на матрицу.

Для матрицы n\times n определитель выражается в виде многочлена степени n от элементов матрицы который представляет собой сумму произведений элементов матрицы со всевозможными комбинациями различающихся номеров строк и столбцов, причём в каждом из произведений элемент из любой строки и любого столбца ровно один. Каждому произведению приписывается знак плюс или минус в зависимости от чётности перестановки номеров.

Если элементами матрицы являются числа, то определитель — это тоже число. В общем случае определитель может быть функциональным, векторным и т. п., то есть, представлять собой иные выражения, составленные из элементов.

Содержание

Определение

Определитель матрицы n\times n задаётся формулой:

det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{i=1}^{n!} (-1)^{p(i)} \cdot a_{1k_{i1}}a_{2k_{i2}} \ldots a_{nk_{in}}

где

  • | A | и det(A) — так обозначается определитель,
  • kij i-я перестановка последовательности k1 = 1,..,n, то есть, k1j = j
  • p(i) количество перестановок пар номеров в последовательности k1j, необходимое для того, чтобы она превратилась в последовательность kij.

Таким образом, можно выделить следующие особенности построения выражения для определителя матрицы n \times n:

  • выражение есть сумма членов, каждый из которых состоит из n сомножителей
  • количество слагаемых в сумме равно количеству перестановок n номеров, то есть, n!
  • номера строк и столбцов элементов, входящих в одно слагаемое, не повторяются
  • слагаемые входят в сумму либо с плюсом, либо с минусом, в зависимости от чётности перестановки
  • слагаемое из элементов главной диагонали матрицы, то есть, a_{11}a_{22} \ldots a_{nn} входит с плюсом

Ниже даны правила составления определителей для матриц 2 \times 2 и 3 \times 3, которые являются более наглядными.

Определитель матрицы 2 \times 2

Для вычисления определителя матрицы размером 2 \times 2, перемножаются её элементы, стоящие на главной диагонали и из них вычитается произведение остальных элементов:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом, помечены красным, а с минусом — синим.

Определитель матрицы 3 \times 3

Для вычисления определителя матрицы размером 3 \times 3, строится шесть произведений следующим образом:

|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

На рисунке элементы, входящие в сумму с плюсом, помечены красным, а с минусом — синим, каждой законченной фигуре из трёх точек соответствует один член суммы из трёх сомножителей.

Свойства определителей

  1. Все свойства определителей, касающиеся строк, справедливы и для столбцов.
  2. Если у матрицы поменять местами 2 любых строки, знак определителя поменяется.
  3. У матрицы с двумя одинаковыми строками определитель равен нулю.
  4. Если любая строка нулевая, определитель равен нулю.
  5. При добавлении к любой строке линенйной комбинации любых других строк определитель не изменится.
  6. Определитель треугольной матрицы равен произведению её диагональных элементов.
  7. det(AB) = det(A)det(B)
  8. det(AT) = det(A)

Смысл определителя

Алгоритм вычисления определителя возникает в задаче решения систем линейных уравнений вида

AX = 0

где

  • A = {ai,j} — матрица коэффициентов уравнения
  • X = {xj} — столбец неизвестных

Если выразить из первого уравнения x1, подставить его во второе, из второго выразить x2, подставить в третье и так далее, то в конечном итоге получится уравнение | A |

Например, если имеется система двух уравнений

a11x1 + a12x2 = 0

a21x1 + a22x2 = 0

то выразив из первого x1 получим

x_1 = - \frac{a_{12}}{a_{11}} \cdot x_2

подставляя это выражение во второе уравнение, придём к формуле

- a_{21} \cdot \frac{a_{12}}{a_{11}} \cdot x_2 + a_{22}x_2 = 0

которую можно разделить на x2 и умножить на a11 (в предположении, что эти значения не равны нулю) и получить формулу

a11a22a12a21 = 0

где в левой части стоит выражение для определителя.

Специальные виды определителей

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home