Замыкание (математика)

Замыка́нием множества относительно некоторой операции называется результат расширения множества минимальным набором элементов такой, что эта операция не выводит за пределы расширенного множества.

Содержание

Геометрия-Анализ

В топологии замыкание подмножества M топологического пространства обычно определяется как пересечение всех замкнутых подмножеств содержащих M. Замыкание M обычно обозначается \overline{M} или cl(M).

В анализе обычно употребляется другое, эквивалентное определение:

Замыкание относительно операции взятия предельной точки. Точка топологического пространства (и в частности метрического пространства) x называется предельной точкой множества M, если любая её выколотая окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Множество всех предельных точек множества M обозначается M'. Замыканием множества M называется множество \overline{M}=M\cup M'. Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки, т. е. M\supset M'. Очевидно, множество \overline{M} является минимальным замкнутым множеством, содержащим M.

Точка x называется точкой прикосновения подмножества M, если любая её окрестность содержит хотя бы одну точку из M. Нетрудно видеть, что множество всех точек прикосновения совпадает с \overline{M}.

Свойства замыкания:

  1. \overline{M'} = M';
  2. M \subset \overline{ M};
  3. \overline{\overline{M}} = \overline{M};
  4. Если M_1 \subset M_2, то \overline{ M}_1 \subset \overline{ M}_2;
  5. \overline{M_1 \cup M_2} = \overline{M}_1 \cup \overline{M}_2.

Алгебра

Замыкание относительно алгебраических операций

Пусть M — подмножество некоторой алгебраической структуры K (например, группы или кольца). Замыканием множества M относительно алгебраических операций в K называется минимальная подструктура (соответственно, подгруппа или подкольцо) K, содержащая M.

См. также свободно порожденная группа

Алгебраическое замыкание поля

Замыкание относительно операции взятие алгебраических чисел над полем. Поле называется алгебраически замкнутым, если оно содержит все свои алгебраические числа (решения алгебраических уравнений с коэффициентами из поля). Примером алгебраически замкнутого поля является поле комплексных чисел \mathbb{C} (см. основная теорема алгебры).

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home