Гиперсфера

Гиперсфера — (n-1)-мерное многообразие в n-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в одной точке — центре гиперсферы.

Расстояние (имея в виду метрику пространства) между центром и каждой точкой гиперсферы одинаково для всех точек гиперсферы, и называется ее радиусом.

Обобщение на n-мерное пространство

Вообще говоря, гиперсфера является одной из гиперповерхностей, которая имеет свои «аналоги» в пространстве любого измерения.

В евклидовом пространстве, исходя из его метрики, гиперсфера радиуса R с центром в точке a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\} задается как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:
(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2

При n = 1 гиперсфера выражается в две точки, равноудаленные от центра; при n = 2 она представляет собой окружность; при n = 3 гиперсфера является сферой.

Если учесть, что гиперсфера имеет два полюса, которые расположены так, что через них можно провести прямую, проходящую и через центр гиперсферы, то можно заметить, что окружность порождена перемещением двух точек (гиперсферы одномерного пространства) от одного полюса к другому, а сфера, в свою очередь, порождена подобным же перемещением окружности (гиперсферы двухмерного пространства).

Таким образом, гиперсфера n-мерного пространства порождена перемещением гиперсферы (n-1)-мерного пространства от одного своего полюса к другому. А радиус «перемещаемой» гиперсферы изменяется от ноля до радиуса «порождаемой» гиперсферы и обратно до ноля.

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
x = \rho \cdot \cos \alpha
y = \rho \cdot \sin \alpha,

а сферические координаты так:
x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta
y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta
z = \rho \cdot \cos \beta

Из этого видно, что гиперсферические координаты могут быть представлены так:
x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \dots \cdot \sin \omega
y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma \cdot \dots \cdot \sin \omega
z = \rho \cdot \cos \beta \cdot \sin \gamma \cdot \dots \cdot \sin \omega
w = \rho \cdot \cos \gamma \cdot \cdots \cdot \sin \omega
\dots
t = \rho \cdot \cos \omega

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home