Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского - это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой p-ой степенью.

Содержание

Формулировка

Пусть (X,\mathcal{F},\mu) - пространство с мерой, и функции f,g \in L^{p}(X,\mathcal{F},\mu), то есть \int_X |f|^p\, d\mu < \infty,\; \int_X |g|^p\, d\mu < \infty, где p \ge 1, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда f+g \in L^p(X,\mathcal{F},\mu), и более того:

\left(\int\limits_X |f(x) + g(x)|^p\, \mu(dx) \right)^{1/p} \le \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p} + \left( \int\limits_X |g(x)|^p\, \mu(dx)\right)^{1/p}.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве L^p(X,\mathcal{F},\mu) можно ввести норму:

\|f\|_p = \left(\;\int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx)\; \right)^{1/p},

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство E = \mathbb{R}^n или \mathbb{C}^n. Lp-норма в этом пространстве имеет вид:

\| x\|_p = \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p},\; x = (x_1 ,\ldots, x_n)^{\top},

и тогда

\left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i + y_i|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{i=1}^n |y_i|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in E.

Если n = 2,3 и p = 2, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство lp

Пусть X = \mathbb{N},\, \mathcal{F} = 2^{\mathbb{N}},\, m - счётная мера на \mathbb{N}. Тогда множество всех последовательностей \{x_n\}_{n=1}^{\infty}, таких что

\|x\|_p = \sum_{i=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty,

называется lp. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n + y_n|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^p \right)^{1/p},\; \forall x,y \in l^p.

Вероятностное пространство

Пусть (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) - вероятностное пространство. Тогда L^p(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) состоит из случайных величин с конечным pмоментом: \mathbb{E}\left[|X|^p\right] < \infty, где символ \mathbb{E} обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

\left( \mathbb{E}|X+Y|^p \right)^{1/p}\le \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} + \left( \mathbb{E}|Y|^p \right)^{1/p}.

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home