Метрический тензор

В математике, метрический тензор -- это симметричное тензорное поле g = gij ранга 2 на гладком многообразии.

Совокупность метрических тензоров g подразделяется на два класса ― невырожденные метрики, когда det(gij) \not= 0, и вырожденные, когда det(gij) = 0 либо det(gij) = 0. Многообразие Mn, метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, световой конус в пространстве Минковского). Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются

  • риманов метрический тензор (или риманова метрика) для которого квадратичная форма является положительно определенной,
  • псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является положительно определенной,

Метрический тензор с положительно-определенной квадратичной формой превращает многообразие в метрическое пространство. Если квадратичная форма отрицательно определена, то многообразие не является метрическим пространством (относительно так заданной метрики), потому что в любой точке многообразия существуют векторы мнимой и нулевой длины. Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрический тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре.

Собственно риманов метрический тензор может быть введен на любом паракомпактном гладком многообразии. Это означает, что любое паракомпактное гладкое многообразие можно в принципе превратить в метрическое пространство. Однако, такая метрика не является естественной с точки зрения физики. Например, хотя в пространстве Минковского с псевдоримановой метрикой можно ввести метрику обычного четырехмерного эвклидова пространства, она не инвариантна относительно преобразований Лоренца, а повороты четырехмерного пространства с участием оси t лишены какого-либо физического смысла.

Содержание

Измерение длин и углов при помощи метрики

В выбранной системе координат x^i \ метрический тензор можно записать в виде матрицы, обычно обозначаемой символом \mathbf{g}. Обозначение g_{ij} \ используется для компонентов метрического тензора, т.е. элементов матрицы. Заметьте, что дальше в формулах используется соглашение Эйнштейна.

На Римановом многообразии, длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция параметра t), от a до b, равна:

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \

Угол \theta \ между двумя векторами, U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ и V=v^j{\partial\over \partial x^j} \ (в искривленном пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), равен:

\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}} \

Метрика, которая индуцируется гладким вложением многообразия в эвклидово пространство может быть посчитана по формуле:

\mathbf{g} = J^T J \

где J \ означает якобиан вложения и J^T \ - его транспонирование.

Для псевдоримановой метрики, длина по формуле, которая приведена выше, не всегда определена, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. В общем можно определить длину кривой только если знак выражения под корнем либо положительный, либо отрицательный по всей длине кривой. Для псевдоримановой метрики:

L = \int_a^b \sqrt{ \left|g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}\right|}dt \ .

Заметим, что хотя эти формулы используют координатное представление, результат не зависит от выбора системы координат; он зависит только от метрики и от кривой, вдоль которой происходит интегрирование.

Примеры

Метрика эвклидова пространства

Самый простой пример метрики - это метрика двумерной эвклидовой плоскости, которую изучают в школе. В координатах x-y она записывается

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \

Длина кривой сводится к известной формуле анализа:

L = \int_a^b \sqrt{ (dx)^2 + (dy)^2} \

Эвклидова метрика в других распространенных системах координат:

Полярные координаты: (r, \theta) \

x = rcosθ
y = rsinθ
J = \begin{bmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta\end{bmatrix}

Так что

g = J^T J = \begin{bmatrix}\cos^2\theta+\sin^2\theta & -r\sin\theta \cos\theta + r\sin\theta\cos\theta \\ -r\cos\theta\sin\theta + r\cos\theta\sin\theta & r^2 \sin^2\theta + r^2\cos^2\theta\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix} \

где использованы формулы тригонометрии.

Метрика на поверхности сферы

Сфера единичного радиуса R3 имеет естественную метрику, индуцированную эвклидовой метрикой вмещающего пространства. В стандартных сферических коордиранах (θ,φ) метрика принимает вид:

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sin^2 \theta\end{bmatrix}

или, по-другому,

g = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2.

Метрика Лоренца в теории относительности

Плоское пространство Минковского (специальная теория относительности) : (x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z) \

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix} \

Для кривой, все точки которой относятся к одному и тому же моменту времени, формула длины кривой сводится к обычной трехмерной форме. Для времениподобной кривой, формула длины дает собственное время вдоль кривой.


Изоморфизм между касательным и ко-касательным пространством

В тензорном анализе, метрический тензор устанавливает канонический изоморфизм между касательным пространством и ко-касательным пространством: пусть v ∈ TpM - вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора g на M , мы получаем, что g(v, . ), т.е. отображение, которое переводит другой вектор w ∈ TpM в число g(v,w), яаляется элементом дуального пространства линейных функционалов Tp*M. Невырожденность метрического тензора превражает это отображение в биекцию, а тот факт что g сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат. В терминах компонентов тензоров, это означает, что можно отождествить ковариантные и контравариантные объекты, т.е. "поднимать и опускать индексы."

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home