Производная Лагранжа

Производная Лагранжа, также известная как конвективная производная и имеющая несколько других названий — это производная взятая в зависимости от системы координат движущейся со скоростью u и часто используемая в гидроаэромеханике и классической механике. Она определена как скалярная функция φ и вектор v:

\frac{D\phi}{Dt} = \frac{\partial \phi}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\phi
\frac{D\mathbf{v}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{v}

где \nabla — это оператор градиента и \frac{\partial}{\partial t} обозначает частную производную с учётом t.

Заметим следующие тождества, когда берётся производная Лагранжа интеграла:

\frac{D}{Dt}\int_{V(t)} f(\mathbf{x})\, dV = \int_{V(t)} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \nabla\cdot(f\mathbf{u}) \right) \, dV = \int_{V(t)} \left( \frac{Df}{Dt} + f ( \nabla\cdot\mathbf{u} ) \right) \, dV

Доказательство

Доказательство через правило цепочки для частных производных. В тензорной нотации (с конвенцией суммирования Эйнштейна), производная может быть записана:

\left[\frac{d\mathbf{B}}{dt}\right]_j = \frac{d}{d t} \hat{B_j}(t, x_i(t)) = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \frac{\partial B_j}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t} = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \frac{\partial x_i}{\partial t} \frac{\partial}{\partial x_i} B_j = \frac{\partial B_j}{\partial t} + \left[(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{B}\right]_j
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home