Связное двоеточие

Свя́зное двоето́чие, или двоеточие Александрова — наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определение

Связным двоеточием называется множество из двух элементов ○ («открыто») и ● («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

  1. ∅ — пустое множество;
  2. {○} — множество из одного элемента «открыто»;
  3. {○,●} — всё пространство.

Описание

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только {○}, а замкнутым — только {●}. Мы видим, что точка ● не имеет окрестностей кроме всего пространства, следовательно пространство не является хаусдорфовым (нарушает аксиому T1). Также мы видим что точка ○ не является замкнутым подмножеством.

Свойства

Отображение F из топологического пространства X в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз F^{-1}(\circ) точки ○ открыт в X (или, что то же самое, прообраз F^{-1}(\bullet) точки ● замкнут в X). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home