Проекция Меркатора

Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора — одна из основных картографических проекций. Разработана Герардом Меркатором для применения в его «Атласе». «Равноугольная» в названии проекции подчёркивает то, что проекция сохраняет углы между направлениями. Меридианы в проекции Меркатора представляются параллельными равноотстоящими линиями. Параллели же представляют собой параллельные линии, расстояние между которыми равно расстоянию между меридианами вблизи экватора и быстро увеличивается при приближении к полюсам. Сами полюсы не могут быть изображены на проекции Меркатора (они соответствуют особенности функции, отображающей координаты на сфере на координаты на плоскости), поэтому обычно карту в проекции Меркатора ограничивают областями до 80-85° градусов северной и южной широты.

Масштаб на карте в этой проекции не является постоянным, он увеличивается от экватора к полюсам (как обратный косинус широты), однако масштабы по вертикали и по горизонтали всегда равны, чем, собственно, и достигается равноугольность проекции. На картах в данной проекции всегда указывается, к какой параллели относится основной масштаб карты.

Поскольку проекция Меркатора имеет различный масштаб на разных участках, эта проекция не сохраняет площади. Если основной масштаб относится к экватору, то наибольшие искажения размеров объектов будут у полюсов. Это хорошо заметно на картах в этой проекции: на них Гренландия сравнима по размерам с Австралией и Южной Америкой.

Проекция Меркатора оказалась весьма удобной для нужд мореходства, особенно в старые времена. Объясняется это тем, что график движения корабля, идущего под одним и тем же румбом к меридиану (т.е. с неизменным положением стрелки компаса относительно шкалы) выражается прямой линией на карте в проекции Меркатора.

Математическое выражение проекции Меркатора

Для начала рассмотрим простейший вариант проекции Меркатора: проекцию сферы на цилиндр. Этот вариант не учитывает сплюснутости Земли у полюсов. Цилиндричность проекции сразу даёт нам выражение для горизонтальной координаты на карте: она просто пропорциональна долготе точки λ

x = c(λ − λ0).

Условие равноугольности — это просто равенство масштабов по горизонтальной и вертикальной оси. Поскольку масштаб по оси X на широте θ равен просто c / (Rcosθ) (R — радиус Земли), то из условия dyRcosθ / c = Rdθ мы получаем выражение для зависимости y от θ

\begin{matrix} y &=& c \ln\mathop{\rm tg}\left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\\ &=& c \,\mathop{\rm ath}\sin\theta \end{matrix}.

Обратное преобразование

\begin{matrix} \theta &=& 2\mathop{\rm arctg} \left( e^{y/c} \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \\ \ &=& \mathop{\rm arctg} \left( \mathop{\rm sh} (y/c) \right) \\ \\ \lambda &=& x/c + \lambda_0. \end{matrix}

Теперь нетрудно получить выражения для равноугольной проекции с учётом эллипсоидальной формы Земли. Для этого надо записать метрическую форму для эллипсоида (a — большая полуось, b — меньшая) в географических координатах

dl^2=\frac{a^2 d\lambda^2}{1+\frac{a^2}{b^2}\mathop{\rm tg}^2\theta}+\frac{b^4}{a^2}\frac{d\theta^2}{(\cos^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\sin^2\theta)^3},

перейти в ней к координатам x и y и приравнять масштабы по осям. После несколько утомительного интегрирования получаем

\begin{matrix} x &=& c(\lambda-\lambda_0)\\ y &=& c [\mathop{\rm ath}\sin\theta-\epsilon\mathop{\rm ath}(\epsilon\sin\theta)]. \end{matrix}

Здесь \epsilon=\sqrt{a^2-b^2}/aэксцентриситет земного эллипсоида. Обратное преобразование не выражается в элементарных функциях, но уравнение для обратного преобразования легко решить методом теории возмущений по малому ε.

Ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home