Носитель функции

Носитель функции u, определённой на множестве X — это подмножество X, на котором вещественно-значная функция u не обращается в ноль:

\operatorname{supp}\ u = \left\{x \ |\ u(x) \ne 0 \right\}

Наиболее распространённым является случай, когда функция u определена на топологическом пространстве X и является непрерывной. В таком случае носитель определяется, как наименьшее замкнутое подмножество X, за пределами которой u равняется нулю. Топологический носитель — это замыкание носителя в теории множеств.

В теории вероятностей, носитель распределения вероятности может быть примерно обозначен, как замыкание набора возможных значений случайной величины, имеющей это распределение. Существуют несколько тонкостей для рассмотрения в случае, когда мы имеем дело с непрерывными распределениями (см. носитель (теория меры)).

Компактный носитель

Фукции с компактным носителем на X — те, носитель которых является компактным подмножеством X. Например, если X &mdash это вещественная прямая, существуют примеры функций, которые стремятся к бесконечности (или отрицательной бесконечности). Тем не менее, есть случаи функций, которые должны стремиться к конечным границам. В хорошем случае, функции с компактным носителем образуют плотное можество в пространстве функций, стремящихся к бесконечности, но это свойство требует некоторой работы для доказательства в любом данном случае.

Также возможно рассмотреть носитель распределения, такого как например Дельта-функция Дирака δ(x) на вещественной прямой. В этом случае мы рассматриваем набор тестовых функций F, которые являются бесконечно-гладкими с носителем, не включая точку 0. Так как δ(F) (распределение δ применяется как линейный функционал к F) является нулём для таких функций, мы можем сказать, что носитель δ — это только точка {0}. Так как меры (включая меры вероятности) на вещественной прямой являются особыми случаями распределений, мы также можем говорить о носителе меры таким-же образом.

Функция называется финитной, если её носитель компактен.

Сингулярный носитель

В анализе Фурье в частности, интересно изучить сингулярный носитель распределения. Он имеет интуитивную интерпретацию, как набор точек в которых распределение не является функцией.

Например, преобразование Фурье шаговой функции Хевисайда может быть рассмотрено с точностью до константы, как 1/x (функция), за исключением точки, в которой x = 0. Так как это очевидно особая точка, то более точным является формулировка, что преобразование в качестве распределения имеет сингулярный носитель {0}: это не может быть аккуратно выражено в виде функции как в случае с тестовым функциями с носителем включающим 0. Но зато это может быть выражено как приложение главного значения Коши несобственного интеграла.

Для распределений с несколькими переменными, сингулярные носители позволяют определять множества волнового фронта и понять принцип Гюйгенса в терминах математического анализа. Сингулярные носители также могут быть использованы для понимания феноменов, специфичных для теории распределений, таких как попытки 'перемножения' распределений (возведение в квадрат дельты-функции Дирака невозможно, в основном потому, что сингулярные носители распределений, которые перемножаются должны быть разделены).

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home