Словарь терминов элементарной математики

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я


См. также словарь терминов планиметрии

Д

  • Движение Движением называют преобразование, сохраняющее расстояния между точками, то есть если A' и B' — образы точек A и B, то A'B' = AB.
  • Двойное отношение
  • Диаметр
    • окружности Диаметром окружности называется хорда данной окружности, проходящая через ее центр.
    • Брокара Диаметром Брокара называют диаметр {окружности Брокара}
    • гиперболы Диаметром гиперболы называют произвольную хорду, проходящую через её центр. Сопряжёнными диаметрами гиперболы называют пару её диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
    • эллипса Диаметром эллипса называют произвольную хорду, проходящую через его центр. Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
    • — Если эллипс является образом окружности при аффинном преобразовании, то его сопряжённые диаметры являются образами двух перпендикулярных диаметров этой окружности.
  • Директриса
  • Дробно-линейное отображение
  • Дробно-линейная функция

З

  • Задача
    • Аполлония Построить (с помощью циркуля и линейки) окружность, касающуюся трех данных окружностей.
    • Брахмагупты: Построить (с помощью циркуля и линейки) вписанный четырехугольник по четырем его сторонам.
    • о бабочке: Пусть O — середина хорды AB окружности S, MN и PQ — произвольные хорды, проходящие через O, причем точки P и N лежат по одну сторону от AB, E и F — точки пересечения хорды AB с хордами MP и NQ соответственно. Доказать, что O — середина отрезка EF
    • о луночках Гиппократа На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника построены полуокружности, расположенные так, как показано на рис. Доказать, что сумма площадей образовавшихся " луночек" равна площади данного треугольника. risunok[t]{graph22}{Луночки Гиппократа}

И

  • Изогональное сопряжение (см. точки изогонально сопряженные)
  • Изогонический центр треугольника Построим на сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Тогда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Эту точку называют первым (соответственно, вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Торричелли\index{точка Торричелли} или точкой Ферма\index{точка Ферма}.
  • Изодинамический центр треугольника Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE, окружности Sb и Sc определяются аналогично. Тогда три окружности Sa,Sb и Sc имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC. Данные точки M и N называются изодинамическими центрами треугольника ABC.
  • Инверсия

К

  • Квадрат Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Можно также определить квадрат, как ромб, являющийся одновременно прямоугольником.
  • Коника Невырожденные кривые второго порядка (на плоскости это эллипс, парабола и гипербола) имеют общее название — коника. Это название связано с тем, что они являются сечениями конуса плоскостями.
  • Координаты
    • барицентрические Пусть на плоскости задан треугольник A1A2A3. Если точка X является центром масс вершин этого треугольника с массами m1, m2 и m3, то числа (m1:m2:m3) называют барицентрическими координатами точки X относительно треугольника A1A2A3. Барицентрические координаты определены не однозначно, а с точностью до пропорциональности.
    • абсолютные барицентрические Барицентрические координаты (m1,m2,m3), для которых выполняется условие m1 + m2 + m3 = 1, будем называть абсолютными барицентрическими координатами; они определены уже не с точностью до пропорциональности, а однозначно.
    • трилинейные координаты Трилинейные координаты тесно связаны с барицентрическими координатами. А именно, если (α:β:γ) — барицентрические координаты точки X относительно треугольника ABC, то (x : y : z)=\left(\frac{\alpha}{a} : \frac{\beta}{b} : \frac{\gamma}{c}\right) — ее трилинейные координаты. Трилинейные координаты, как и барицентрические, определены с точностью до пропорциональности.
    • — Для точки X, лежащей внутри треугольника ABC, в качестве барицентрических координат можно взять площади треугольников (SBCX:SCAX:SABX). Это означает, что в качестве трилинейных координат можно взять расстояния от точки X до сторон треугольника — абсолютные трилинейные коодинаты. Если точка X лежит вне треугольника, то расстояния до сторон нужно взять с учетом знака. Например, если точки X и A лежат по одну сторону от прямой BC, то x > 0, а если по разные, то x < 0.
    • — В трилинейных координатах изогональное сопряжение задается формулой (x : y : z)\mapsto(x^{-1} : y^{-1} : z^{-1}). В связи с этим трилинейные координаты часто бывают удобны при работе с изогональным сопряжением.
    • абсолютные трилинейные см. «трилинейные координаты».

Л

  • Лемма Шпернера Рассмотрим треугольник, вершины которого помечены цифрами 0, 1 и 2, Разобъем этот треугольник на несколько треугольников так, чтобы никакая вершина одного треугольника не лежала на стороне другого. Вершинам исходного треугольника оставим старые пометки, а дополнительным вершинам припишем номера 0, 1, 2, причем так, чтобы любая вершина на стороне исходного треугольника была бы помечена одной из пометок вершин этой стороны (см. рис.). Докажите, что существует треугольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2 (лемма Шпернера). risunok[t]{book65}{Лемма Шпернера}

М

  • Медиана
    • треугольника Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противоположной стороны треугольника.
  • Момент инерции Величину I_M=m_1 MX_1^2+\ldots+m_nMX_n^2 называют моментом инерции системы точек X_1,\ldots,X_n с массами m_1,\ldots,m_n относительно точки M.
    • — Применения этого понятия в геометрии основаны на зависимости IM = IO + mOM2, где O — центр масс системы, a m=m_1+\ldots+m_n.
  • Многоугольник

Н

  • Неравенство
    • Йиффа Неравенство Йиффа утверждает, что для угла Брокара \varphi данного треугольника выполнено неравенство 8\varphi^3\le\alpha\beta\gamma, где α,β,γ — углы искомого треугольника.
    • Коши (о среднем арифметическом и среднем геометрическом) Для любых неотрицательных чисел x_1,x_2,\dots,x_n верно неравенство: \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда x_1=x_2=\dots=x_n. Выражение \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} называется средним арифметическим, а \sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdots x_n}средним геометрическим чисел x_1,x_2,\dots,x_n. Неравенство Коши и его частный случай при n = 2 (\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab} при a,b\ge 0) очень полезны и часто используются при решении задач и для доказательства других неравенств.
    • Пидо Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Тогда a^2(-{a'}^2+{b'}^2+{c'}^2)+ b^2({a'}^2-{b'}^2+{c'}^2)+ c^2({a'}^2+{b'}^2-{c'}^2)\ge16SS', причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны.
    • Птолемея Для любых точек A,B,C,D плоскости выполнено неравенство AC\cdot BD\leq AB\cdot CD+BC\cdot AD, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD (выпуклый) вписанный четырехугольник. Неравенства Птолемея можно распространить и на шесть точек: если A_1, A_2, \dots A_6 — произвольные точки плоскости, то A_1A_4\cdot A_2A_5\cdot A_3A_6\le A_1A_2\cdot A_3A_6\cdot A_4A_5+A_1A_2\cdot A_3A_4\cdot A_5A_6 +A_2A_3\cdot A_1A_4\cdot A_5A_6 +A_2A_3\cdot A_4A_5\cdot A_1A_6+A_3A_4\cdot A_2A_5\cdot A_1A_6, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда A_1\dots A_6 — вписанный шестиугольник.
    • треугольника Неравенство треугольника утверждает, что для любых трех точек A,B,C плоскости (пространства) верно, что |AB|+|BC|\geq |AC|, где через | XY | обозначено расстояние между точками X и Y.
    • — Неравенство треугольника обращается в равенство тогда и только тогда, когда точки A,B и C лежат на одной прямой, причем B лежит между A и C.
    • — Если \overrightarrow{x},\overrightarrow{y} — два вектора (два элемента нормированного пространства), то неравенство треугольника примет вид |\overrightarrow{x}| + |\overrightarrow{y}|\geq |\overrightarrow{x+y}|, где через |\overrightarrow{z}| обозначена длина (норма) вектора \overrightarrow{z}. Неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы \overrightarrow{x} и \overrightarrow{y}сонаправлены.
    • Эрдёша-Морделла Пусть точка O лежит внутри треугольника ABC. Обозначим расстояния от точки O до сторон BC,CA,AB треугольника через da,db,dc, а расстояния от точки O до вершин A,B,C через Ra,Rb,Rc. Тогда R_a+R_b+R_c\geq2(d_a+d_b+d_c).

О

  • Оболочка выпуклая Выпуклой оболочкой данной фигуры называется наименьшее {выпуклое множество}, содержащее данную фигуру. «Наименьшее множество» здесь означает наименьший элемент по отношению к вложению множеств, то есть такое выпуклое множество, содержащее данную фигуру, что оно содержится в любом другом выпуклом множестве, содержащем данную фигуру.
    • — У любой фигуры есть ровно одна выпуклая оболочка — это пересечение всех выпуклых фигур, содержащих данную фигуру.
    • — Выпуклой оболочкой конечного набора точек на плоскости (в том числе и невыпуклого многоугольника) всегдя является выпуклый плоский многоугольник (в вырожденных случаях — отрезок или точка), причем его вершины являются подмножеством исходного набора точек (см. рис.). Аналогичный факт верен и для конечного набора точек во многомерном пространстве. risunok{book29}{Выпуклая оболочка}
  • Окружность Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от данной на одно и то же положительное расстояние. Эта точка называется центром окружности. Хордой окружности называется отрезок, соединяющий любые две ее точки, радиусом — отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на ней. Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром.
    • Аполония Рассмотрим две различные точки A и B на плоскости. Геометрическое место точек M, для которых AM:BM = k (k > 0) является окружностью, которая называется окружностью Аполлония.
    • окружность Брокара Треугольник с вершинами в постоянных точках треугольника называют треугольником Брокара, а описанную окружность этого треугольника (т. е. окружность подобия треугольника) —окружностью Брокара. Диаметр KO этой окружности называют диаметром Брокара.
    • вписанная Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.
    • — Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Окружность, называется вписанной в выпуклый многоугльник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.
    • — Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности. Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности. Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.
    • — В каждый треугольник можно вписать окружность, притом ровно одну. Ее центр — это точка пересечения биссектрис треугольника.
    • — В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB + CD = AC + BD.
    • вневписанная Окружность называется вневписанной окружностью данного треугольника, если она касается одной из его сторон и продолжения двух других сторон. У каждого треугольника есть ровно три вневписанные окружности.
    • — Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы угла треугольника, противолежащего той стороне, которая касается окружности, и биссектрис двух внешних углов, соответствующих двум оставшимся углам треугольника.
    • окружность девяти точек В каждом треугольнике следующие девять точек: середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью девяти точек данного треугольника.
    • — Если H — точка пересечения высот данного треугольника, а O — центр его описанной окружности, то центром окружности девяти точек является середина отрезка OH.
    • окружность инверсии см. «инверсия».
    • Лемуана Через точку Лемуана данного треугольника проведем прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника (в общем случае таких точек 6), называется первой окружностью Лемуана. Если же через точку Лемуана провести прямые, антипараллельные сторонам треугольника, то окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника называется второй окружностью Лемуана.
    • Нейберга Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара \varphi треугольника ABC остается постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса (a/2)\sqrt{{\rm ctg }^2\varphi -3}, где a = BC, которая и называется окружностью Нейберга.
    • описанная Окружность, называется описанной вокруг выпуклого многоугольника, если все вершины данного многоугольника расположены на этой окружности. Сам многоугольник в таком случае называется вписанным в данную окружность.
    • — Если вокруг данного выпуклого многоугольника можно вписать окружность, то серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности. Таким образом, вокруг выпуклого многоугольника можно описать не более одной окружности.
    • — Вокруг каждого треугольника можно описать окружность, притом ровно одну. Ее центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров в сторонам треугольника.
    • — Вокруг выпуклого четырехугольник ABCD можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180^\circ: \angle ABC+\angle CDA=180^\circ=\angle BCD+\angle DAB.
    • подерная (педальная) Пусть A1,B1 и C1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC,CA и AB. Треугольник A1B1C1 называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC. Описанную окружность подерного треугольника называют подерной (или педальной) окружностью.
    • окружность подобия см. «треугольник подобия».
    • Тукера треугольника ABC, если она проходит через точки пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A'B'C', полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана K. Эти точки (в общем случае их шесть) всегда лежат на одной окружности.
    • — Центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K - точка Лемуана, O - центр описанной окружности.
    • Схоуте Опустим из точки M перпендикуляры MA1, MB1 и MC1 на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A1B1C1 имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причем одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне ее. Данные окружности называются окружностями Схоуте треугольника ABC.
  • Ортоцентр Ортоцентром треугольника называется точка пересечения его высот.
    • — В любом треугольнике такая точка существует и единственна.
  • Ось
    • гиперболы см. «оси коники».
    • ось параболы Ось Ox прямоугольной системы координат, в которой уравнение параболы имеет вид y2 = 2px, называют осью параболы. Ясно, что ось параболы является её осью симметрии.
    • ось подобия см. «треугольник подобия».
    • радикальная ось двух окружностей Рассмотрим две неконцентрические окружности на плоскости: S1 и S2. Геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая, которая называется радикальной осью окружностей S1 и S2.
    • ось симметрии см. «симметия осевая»
    • эллипса см. «оси коники»
  • Отношение

П

  • Парабола Есть несколько эквивалентных определений параболы:
    1. Параболой называется график функции y = ax2 (при a\ne 0) в некоторой прямоугольной системе координат.
    • — График любого квадратного трехчлена y = ax2 + bx + c (a\ne 0) является параболой, так как он получается из графика функции y = ax2 с помощью параллеьного переноса (выделение полного квадрата).
    • — Таким образом, все параболы подобны.
    1. Параболой называется множество точек плоскости, которое в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением y2 = 2px при p\ne 0. Данное уравнение называется каноническим уравнением параболы. Точку (0,p / 2) называют фокусом параболы, а прямую y = - p / 2директрисой параболы.
    • — Расстояние от любой точки параболы до фокуса равно расстоянию от этой точки до директрисы параболы.
    1. Параболой называется геометрическое место точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки (называемой фокусом) и до некоторой фиксированной прямой (директрисой) равны.
    • — Парабола является коническим сечением, то есть она может быть получен как сечение конуса подходящей плоскостью.
    • — Параболическое зеркало обладает тем свойством, что лучи света, идущие внутри параболы параллльно ее оси, после первого отражения концентрируются в ее фокусе. Или, что то же самое, если поместить источник света в фокусе параболы, то после отражения получится пучок лучей, параллельных оси параболы.
  • Параллелограмм Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны (то есть лежат на параллельных прямых).
  • Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор AB называют преобразование плоскости (пространства), переводящее точку X в такую точку X', что \overrightarrow{XX'}=\overrightarrow{AB}.
  • Периметр Рассмотрим фигуры, ограниченные гладкими или кусочно-гладкими кривыми. Периметром такой фигуры называют длину кривой, ограничивающей эту фигуру. В частности, периметр многоугольника — это сумма длин его сторон.
  • Поляра точки относительно окружности Если точка P лежит вне окружности S, а PA и PB — касательные к окружности, то прямую AB называют полярой точки P относительно окружности S.
  • Поризм Штейнера Рассмотрим цепочку окружностей S_1,S_2,\ldots,S_n, каждая из которых касается двух соседних (Sn касается Sn − 1 и S1) и двух данных непересекающихся окружностей R1 и R2. Тогда для любой окружности T1, касающейся R1 и R2 (одинаковым образом, если R1 и R2 не лежат одна в другой, внешним и внутренним образом — в противном случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T_1,T_2,\ldots,T_n. Этот факт и называется поризмом Штейнера. risunok{book109}{Поризм Штейнера}
  • Последовательность Фарея Последовательностью Фарея Fn называют возрастающую последовательность несократимых дробей a / b, где a,b\in\N, 0<a<b\le n.
    • — Если a / b и c / d — соседние члены последовательности Фарея, то | ad - bc | = 1.
  • Преобразования плоскости (пространства)
    • аффинные Преобразование плоскости называется аффинным, если оно взаимно однозначно, и образом любой прямой является прямая.
    • — Аффинное преобразование является непрерывным преобразованием плоскости.
    • — Отметим, что взаимно однозначное отображение плоскости в себя, переводящее любую окружность в окружность, является аффинным преобразованием плоскости. Частным случаем аффинных преобразований являются движения и преобразования подобия.
    • проективные преобразования Отображение P плоскости α на плоскость β называют проективным, если оно является композицией центральных проектирований и аффинных преобразований, то есть если существуют плоскости α0 = α, \alpha_1,\ldots,\alpha_n=\beta и отображения Pi плоскостей αi на αi + 1, каждое из которых является либо центральным проектированием, либо аффинным преобразованием, причем P является композицией преобразований Pi. В случае, когда плоскость α совпадает с плоскостью β, отображение P называют проективным преобразованием плоскости α. Прообраз бесконечно удаленной прямой называется исключительной прямой данного проективного преобразования.
  • Преобразование подобия Преобразованием подобия плоскости (пространства) называется преобразование плоскости (пространства), изменяющее расстояние между любыми двумя точками в одно и то же положительное число раз. Фигуры на плоскости (в пространстве) называются подобными, если существует преобразование подобия, взаимно однозначно переводящее одну фигуру в другую.
  • Проектирование
    • центральное проектирование
    1. Пусть l1 и l2 — две прямые на плоскости, O — точка, не лежащая ни на одной из этих прямых. Центральным проектированием прямой l1 на прямую l2 с центром O называют отображение, которое точке A1 прямой l1 ставит в соответствие точку пересечения прямой OA1 с прямой l2.
    2. Пусть α1 и α2 — две плоскости в пространстве, O — точка, не лежащая ни на одной из этих плоскостей. Центральным проектированием плоскости α1 на плоскость α2 с центром O называют отображение, которое точке A1 плоскости α1 ставит в соответствие точку пересечения прямой OA1 с плоскостью α2.
    • параллельное проектирование Пусть l1 и l2 — две прямые на плоскости, l — прямая, не параллельная ни одной из этих прямых. Параллельным проектированием прямой l1 на прямую l2 вдоль прямой l называют отображение, которое точке A1 прямой l1 ставит в соответствие точку пересечения прямой l2 с прямой, проходящей через точку A1 параллельно прямой l.
  • Проекция стереографическая см. «стереографическая проекция».
  • Произведение
    • псевдоскалярное произведение Псевдоскалярным произведением ненулевых векторов \boldsymbol{a} и \boldsymbol{b} называют число c=|\boldsymbol{a}|\cdot|\boldsymbol{b}|\sin\angle (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}); если хотя бы один из векторов \boldsymbol{a} и \boldsymbol{b} нулевой, то c = 0. Число c обозначается через \boldsymbol{a}\vee\boldsymbol{b}. Ясно, что \boldsymbol{a}\vee\boldsymbol{b}=-\boldsymbol{b}\vee\boldsymbol{a}. Абсолютная величина псевдоскалярного произведения векторов \boldsymbol{a} и \boldsymbol{b} равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы. В связи с этим ориентированной площадью тройки точек A, B и C называют число S(A,B,C)=(\overrightarrow{AB}\vee\overrightarrow{AC})/2; абсолютная величина числа S(A,B,C) равна площади треугольника ABC.
    • скалярное произведение Скалярным произведением векторов \boldsymbol{a} и \boldsymbol{b} называют число (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=|a|\cdot|b|\cos\angle(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}) (если один из этих векторов нулевой, то (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=0). Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
    • (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=(\boldsymbol{b},\boldsymbol{a});
    • |(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})|\le |\boldsymbol{a}|\cdot |\boldsymbol{b}|;
    • (\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=\lambda(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c})+ \mu(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c});
    • — если \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\ne \boldsymbol{0}, то (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\boldsymbol{0} тогда и только тогда, когда \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}.
    • — Если в некоторой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n), \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,\dots,b_n), то скалярное произведение можно вычислить по следующей формуле: (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=a_1b_1+a_2b_2+\dots+b_ny_n. В частности, для векторов на плоскости \boldsymbol{a}=(x_1,y_1), \boldsymbol{b}=(x_2,y_2) скалярное произведение вычисляется по формуле (\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=x_1x_2+y_1y_2.
  • Прямая
    • Гаусса Если никакие стороны четырехугольника не параллельны, то середина отрезка, соединяющего точки пересечения противоположных сторон, лежит на прямой, соединяющей середины диагоналей. Эта прямая называется прямой Гаусса.
    • исключительная прямая см. «преобразования проективные».
    • опорная прямая Опорной прямой выпуклого многоугольника называют прямую, проходящую через его вершину и обладающую тем свойством, что многоугольник лежит по одну сторону от нее.
    • — Для любого выпуклого многоугольника существуют ровно две опорные прямые, параллельные данной прямой. risunok{book30}{Опорные прямые}
    • Симсона Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона. Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687-1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году Вильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.
    • соответственные см. «соответственные точки».
    • Уоллеса (см. {прямая Симсона})
    • Эйлера Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC, O — центр описанной окружности, M — точка пересечения медиан. Точки M,H и O лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера.
    • — Отметим, что точка M лежит на отрезке OH, причем OM:MH = 1:2.
  • Прямые
    • параллельные Совпадающие прямые (рефлексивность) или прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, называются параллельными.
  • Прямоугольник Прямоугольником называется параллелограмм, все углы которого прямые. %

Р

  • Ромб Ромбом называется паралллограмм, у которого все стороны равны.

С

  • Симедиана Пусть AM — медиана треугольника ABC, а прямая AS симметрична прямой AM относительно биссектрисы угла A (точка S лежит на отрезке BC). Тогда отрезок AS называют симедианой треугольника ABC; иногда симедианой называется луч AS.
    • — Симедианы треугольника пересекаются в точке, изогонально сопряженной точке пересечения медиан. Точку пересечения симедиан треугольника называют точкой Лемуана.
  • Симметрия
    • осевая Симметрией относительно прямой l (обозначение: Sl) называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку X', что l — серединный перпендикуляр к отрезку XX'. Это преобразование называют также осевой симметрией, а lосью симметрии. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно прямой l, то l называют осью симметрии этой фигуры.
    • относительно прямой (см. симметрия осевая)
    • относительно точки (см. симметрия центральная)
    • скользящая Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l(этот вектор может быть и нулевым).
    • центральная Симметрией относительно точки A называют преобразование плоскости, переводящее точку X в такую точку X', что A — середина отрезка XX'. Другие названия этого преобразования — центральная симметрия с центром A или просто симметрия с центром A.
    • — Заметим, что симметрия с центром A представляет собой частный случай двух других преобразований — она является поворотом на 180^{\circ} с центром A, а также гомотетией с центром A и коэффициентом - 1. Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры. Центральную симметрию с центром в точке A часто обозначают через SA или ZA.
  • Cопряжённые диаметры
    • гиперболы Сопряжёнными диаметрами гиперболы называют пару её диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
    • эллипса Сопряжёнными диаметрами эллипса называют пару его диаметров, обладающих следующим свойством: середины хорд, параллельных первому диаметру, лежат на втором диаметре. В этом случае и середины хорд, параллельных второму диаметру, лежат на первом диаметре.
    • — Если эллипс является образом окружности при аффинном преобразовании, то его сопряжённые диаметры являются образами двух перпендикулярных диаметров этой окружности.
  • Средняя линия
    • трапеции Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.
    • — Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции, а ее длина равна полусумме оснований трапеции.
    • треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины его сторон.
    • — Средняя линия треугольника параллельна его третьей стороне (не той, через чьи середины она проходит), а ее длина равна половине длины этой стороны.
  • Cтепень
    • инверсии см. «инверсия».
    • точки относительно окружности Рассмотрим окружность S и точку P на плоскости. Пусть прямая, проведенная через точку P, пересекает окружность в точках A и B. Тогда произведение PA\cdot PB не зависит от выбора прямой. Эта величина, взятая со знаком плюс для точки P вне окружности и со знаком минус для точки P внутри окружности, называется степенью точки P относительно окружности S.
  • Стереографическая проекция Рассмотрим в пространстве единичную сферу с центром в начале координат. Пусть N(0,0,1) — ее северный полюс. Стереографической проекцией сферы на плоскость называют отображение, которое каждой, отличной от N, точке M сферы сопоставляет точку пересечения прямой MN с плоскостью Oxy.
    • — При стереографической проекции окружности на сфере, не проходящие через северный полюс, переходят в окружность на плоскости, а окружности, проходящие через северный полюс, переходят в прямые на плоскости.

Т

  • Теорема
    • Брианшона: Диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.
    • Гаусса Рассмотрим четырехугольник ABCD. Пусть u = AD2, v = BD2, w = CD2, U = BD2 + CD2 - BC2, V = AD2 + CD2 - AC2, W = AD2 + BD2 - AB2. Теорема Гаусса утверждает, что uU2 + vV2 + wW2 = UVW + 4uvw.
    • Дезарга Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O. Теорема Дезарга утверждает, что в этом случае точки пересечения (если они есть) прямых AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 лежат на одной прямой.
    • — Теорема Дезарга проективно двойственна {теореме Паппа}.
    • Карно: Перпендикуляры, опущенные из точек A1,B1,C1 на стороны BC,CA,AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A1B2 + C1A2 + B1C2 = B1A2 + A1C2 + C1B2.
    • Киркмана: Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке.
    • косинусов
    • Менелая Рассмотрим треугольник ABC, на сторонах BC,CA и AB которого (или на их продолжениях) взяты точки A1,B1 и C1 соответственно. Теорема Менелая утверждает, что точки A1,B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда \frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot \frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}\cdot \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}=1, где через \frac{\overrightarrow{XY}}{\overrightarrow{ZT}} обозначено ориентированное отношение отрезков, которое равно \frac{{XY}}{{ZT}}, если векторы \overrightarrow{XY} и \overrightarrow{ZT} сонаправлены, или (-\frac{{XY}}{{ZT}}), если эти векторы противоположно направлены. Теорема Менелая часто используется для доказательства того, что точки пересечения некоторых прямых лежат на одной прямой.
    • Минковского: Пусть начало координат является центром симметрии выпуклой фигуры площадью более 4. Тогда эта фигура содержит хотя бы одну точку с целыми координатами, отличную от начала координат.
    • Морли В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектрисы углов B и C пересекаются в точке A1; аналогично определим точки \! B1 и C1 (см. рис.). Теорема Морли утверждает, что полученный треугольник A1B1C1 равносторонний. risunok{graph55}{Теорема Морли}
    • Наполеона Если на сторонах правильного треугольника внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник.
    • — Отметим, что разность площадей треугольников, полученных при построении правильных треугольников внешним и внутренним образом, равна площади исходного треугольника.
    • о группировке масс: Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме масс удаленных точек.
    • о дважды перспективных треугольниках: Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1 таких, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Тогда прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2
    • о полном четырехстороннике: Рассмотрим четыре точки A, B,C, D. Пусть P, Q, R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Тогда (QRKL) = - 1, где (QRKL)двойное отношение точек Q,R,K,L.
    • о трижды перспективных треугольниках: Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1 таких, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, прямые AA1, BC1 и CB1 пересекаются в одной точке O1 и прямые AC1, BB1 и CA1 пересекаются в одной точке O2. Тогда прямые AB1, BA1 и CC1 также пересекаются в одной точке O3.
    • Паппа Рассмотрим две прямые, на одной из которых взяты точки A1,B1 и C1, а на другой — точки A2,B2 и C2. Пусть прямые A1B2 и A2B1, B1C2 и B2C1, C1A2 и C2A1 пересекаются в точках C,A и B соответственно. Теорема Паппа утверждает, что тогда точки A,B и C лежат на одной прямой.
    • — Теорема Паппа проективно двойственна {теореме Дезарга}.
    • Паскаля: Точки пересечения противоположных сторон (если эти стороны не параллельны) вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.
    • — Классическую формулировку теоремы Паскаля можно обобщить двумя способами. Во-первых, теорема будет верна не только для шестиугольника, но для произольной (возможно, самопересекающейся) шестизвенной ломаной с вершинами на окружности. Во-вторых, теорема останется верна и если вместо окружности рассмотреть произвольную конику на плоскости.
    • Помпею: Рассмотрим точку X и правильный треугольник ABC. Из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC.
    • Птолемея: Для вписанного четырехугольника ABCD верно равенство: AB\cdot CD + AD\cdot BC=AC\cdot BD.
    • обобщенная Рассмотрим окружности α,β,γ и δ, касающиеся данной окружности в вершинах A,B,C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть tαβ — длина общей касательной к окружностям α и β (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее); tβγ,tγδ и т. д. определяются аналогично. Тогда обобщенная теорема Птолемея утверждает, что tαβtγδ + tβγtδα = tαγtβδ.
    • Рамсея: Пусть p, q и r — натуральные числа, причем p,q \ge r. Тогда существует число N = N(p,q,r), обладающее следующим свойством: если все r-элементные подмножества N-элементного множества S произвольным образом разбиты на два непересекающихся семейства α и β, то либо существует p-элементное подмножество множества S, все r-элементные подмножества которого содержатся в α, либо существует q-элементное подмножество, все r-элементные подмножества которого содержатся в β.
    • Сильвестра: На плоскости дано конечное число точек, причем такое, что любая прямая, проходящая через две из данных точек, содержит еще одну данную точку. Тогда все данные точки лежат на одной прямой.
    • Тебо: На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 — центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; \varphi=\angle ADB. Тогда точка I лежит на отрезке I1I2, причём I_1I\colon II_2={\rm tg }^2\frac{\varphi}{2}, причем r=r_1\cos^2\frac{\varphi}{2}+r_2\sin^2\frac{\varphi}{2} (Тебо).
    • Фейербаха: Окружность, проходящая через середины сторон (окружность девяти точек) треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей
    • Хелли Если на плоскости имется n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку, то и все n данных фигур имеют общую точку.
    • Шаля Теорема Шаля утверждает, что любое движение плоскости является одним из следующего списка: параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия (включая осевую). Теорема Шаля дает полную классификацию всех движений плоскости.
    • — Часто также бывает удобно воспользоваться тем фактом, что любое движение плоскости есть композиция некоторого количества осевых симметрий (всегда можно обойтись не более, чем тремя).
    • — Аналогичная теорема классифицирует все движения трехмерного пространства: всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением (то есть композицией поворота вокруг определенной оси с параллельным переносом вдоль той же оси, причем как угол, так и вектор могут быть и нулевыми). Движение, меняющее ориентацию, является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.
    • Чевы: Пусть точки A1,B1 и C1 принадлежат соответственно сторонам BC,AC и AB треугольника ABC. Тогда отрезки AA1,BB1,CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда (AB_{1}/B_{1}C)\cdot (CA_{1}/A_{1}C)\cdot (BC_{1}/C_{1}A) = 1. Теорему Чевы можно обобщить для случая, когда точки A1,B1 и C1 лежат не обязательно на сторонах треугольника, а лишь на прямых BC,AC и AB. Пусть k из этих точек лежит на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть R=\frac{BA_1}{CA_1}\cdot\frac{CB_1}{AB_1}\cdot\frac{AC_1}{BC_1}. Тогда прямые AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечётно. Теорема Чевы часто используется для доказательства того, что некоторые прямые пересекаются в одной точке.
  • Точка
    • бесконечно удаленная см. «центральное проектирование».
    • Жергонна Точкой Жергонна называется точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания вписанной окружности.
    • Лемуана Точкой Лемуана треугольника называется точка пересечения его симедиан.
    • Микеля Пусть четыре прямые расположены так («в общем положении»), что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные окружности этих треугольников имеют общую точку, которая называется (точкой Микеля) этой конфигурации прямых.
    • — Отметим, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
    • Нагеля Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вневписанных окружностей со сторонами, пересекаются в одной точке, которая называется (точкой Нагеля) данного треугольника.
    • Торричелли см. «изогонический центр».
    • Ферма см. «изогонический центр».
  • Точки
    • изогонально сопряженные Пусть на сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A1,B1 и C1, причем прямые AA1,BB1 и CC1 пересекаются в одной точке P. Тогда прямые AA2,BB2 и CC2, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке Q. В этом случае точки P и Q называются изогонально сопряженными относительно треугольника ABC.
    • изотомически сопряженные Пусть прямые AP,BP и CP пересекают прямые BC,CA и AB в точках A1,B1 и C1 соответственно, а точки A2,B2 и C2 выбраны на прямых BC,CA и AB так, что \overline{BA_2}: \overline{A_2C}=\overline{A_1C}: \overline{BA_1}, \overline{CB_2}: \overline{B_2A}=\overline{B_1A}: \overline{CB_1} и \overline{AC_2}: \overline{C_2B}=\overline{C_1B}: \overline{AC_1}. Тогда прямые AA2,BB2 и CC2 либо параллельны, либо также пересекаются в одной точке Q. В последнем случае точки P и Q называют изотомически сопряженными относительно треугольника ABC.
    • постоянные подобных фигур Пусть l1, l2 и l3 — соответственные прямые подобных фигур F1, F2 и F3, пересекающиеся в точке W. Пусть J1, J2 и J3 — точки пересечения прямых l1, l2 и l3 с окружностью подобия, отличные от точки W. Оказывается, что эти точки зависят только от фигур F1, F2 и F3 и не зависят от выбора прямых l1, l2 и l3. Точки J1, J2 и J3 и называют постоянными точками подобных фигур F1, F2 и F3, а треугольник J1J2J3 называют постоянным треугольником подобных фигур F1, F2 и F3.
    • соответственные Точки A1 и A2 называют соответственными точками подобных фигур F1 и F2, если при поворотной гомотетии, переводящей F1 в F2, точка A1 переходит в A2. Аналогично определяются соответственные прямые и отрезки.
  • Треугольник
    • Брокара см. «точка Брокара».
    • пифагоров (египетский) Прямоугольный треугольник, называется пифагоровым или египетским, если его стороны, измеренные в одних и тех же единицах длины, выражаются целыми числами. Например, трегольники со сторонами (3,4,5), (5,12,13), (15,8,17) — пифагоровы. Если применить к пифагорову треугольнику гомотетию с натуральным коэффициентом, то получиться также пифагоров треугольник. Различных (не подобных) пифагоровых треугольников бесконечно много. Можно описать все тройки натуральных чисел (x,y,z) такие, что x2 + y2 = z2 следующим образом. Ограничимся случаем взаимно простых чисел x,y,z (все остальные тройки будут пропорциональны данным). Тогда ровно одно из чисел x,y, отвечающих условию x2 + y2 = z2, будет чётно. Пусть это y. Тогда необходимо \left\{ \begin{matrix} x=a^2-b^2\\ y=2ab\\ z=a^2+b^2, \end{matrix} \right. где a и b — взаимно простые натуральные числа различной чётности. Верно и обратное: если по паре таких чисел a и b построить тройку (x,y,z) по данным формулам, то необходимо x2 + y2 = z2, причем числа x,y,z будут взаимно простыми. Тем самым дана полная классификация пифагоровых треугольников (с точностью до порядка катетов и преобразований подобия с натуральным коэффициентом).
    • подерный (педальный) Пусть A1,B1 и C1 — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC,CA и AB. Треугольник A1B1C1 называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC. Описанную окружность подерного треугольника называют подерной (или педальной) окружностью.
    • подобия Пусть F1, F2 и F3 — три подобные фигуры, O1 — центр поворотной гомотетии, переводящей F2 в F3, точки O2 и O3 определяются аналогично. Если точки O1, O2 и O3 не лежат на одной прямой, то треугольник O1O2O3 называют треугольником подобия фигур F1, F2 и F3, а его описанную окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда точки O1, O2 и O3 совпадают, окружность подобия вырождается в центр подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия.
    • постоянный См. " {постоянные точки}".
    • правильный (равносторонний) Треугольник называется правильным или равносторонним, если все его стороны равны между собой. Углы равностороннего треугольника также равны между собой и составляют 60^\circ.
    • прямоугольный Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой (то есть равен 90^\circ).
  • Треугольники
    • ортологические Треугольники ABC и A1B1C1, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B1C1, C1A1, A1B1 пересекаются в одной точке, называются ортологическими. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A1, B1, C1 на прямые BC, CA, AB также пересекаются в одной точке.
  • Триссектриса Триссектриссой угла называется луч, проходящий внутри угла и делящий его на два угла, градусные меры которых относятся в отношении 1:2. У каждого угла есть ровно две триссектрисы, которые делят его на три равные части.

У

  • Угол
    • Брокара Пусть P — {точка Брокара} треугольника ABC. Угол \varphi=\angle ABP=\angle BCP=\angle CAP называется углом Брокара этого треугольника.
    • вертикальный Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого.
    • вписанный Угол ABC, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в данную окружность.
    • между окружностями Пусть две окружности пересекаются в точке A. Углом между окружностями называют угол между касательными к окружностям в точке A. Очевидно, что если окружности пересекаются в точках A и B, то угол между касательными в точке A равен углу между касательными в точке B. Аналогично определяется угол между прямой и окружностью.
    • между прямыми
    • ориентированный Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: \angle(AB,CD)) называбт величину угла, на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на n\cdot180^{\circ}, считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180^{\circ} или, что по нашему соглашению то же самое, 0^{\circ}). Ориентированные углы обладает следующими свойствами: а) \angle(AB,BC)=-\angle(BC,AB); б) \angle(AB,CD)+\angle(CD,EF)=\angle(AB,EF); в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда \angle(AB,BC)=\angle(AD,DC).

Ф

  • Фигура В планиметрии (стереометрии) принято называть фигурой произвольное подмножество плоскости (пространства). Таким образом, по сложившейся традиции в классической геометрии слово «фигура» употребляется вместо слова «множество».
    • Фигура выпуклая Фигуру называют выпуклой, если любой отрезок с концами в точках фигуры целиком принадлежит ей.
  • Фокус
    • гиперболы см. «гипербола».
    • параболы см. «парабола».
    • эллипса см. «эллипс».
  • Формула
    • Герона Площадь треугольника можно вычислить по формуле S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, где a, b, c — стороны, а p — полупериметр данного треугольника. Данная формула и называется формулой Герона.
    • Пика Рассмотрим многоугольник (не обязательно выпуклый) с вершинами в узлах целочисленной решетки. Его площадь можно вычислить по формуле Пика: S = n + m / 2 - 1, где n — число узлов решетки, лежащих строго внутри (не на границе) данного многоугольника, а m — число узлов, лежащих на его границе.
    • Эйлера Есть много формул, по праву носящих имя великого математика Леонарда Эйлера (4(15).4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18).9.1783, Петербург). Приведем некоторые из них:
    1. e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi.
    2. \frac{\sin x}{x}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2}). Одним из следствий этой формулы является равенство 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\dots=\frac{\pi^2}{6}.
    3. о простых числах: \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\prod_p 1/(1-p^{-s}), где в правой части формулы произведение берется по всем натуральным простым числам p.
    4. о кривизнах: \frac{1}{R}=\frac{\cos^2\varphi}{R_1}+\frac{\sin^2\varphi}{R_2}, где R — радиус кривизны нормального сечения, R1,R2 — радиусы кривизн главных сечений в той же точке поверхности, а \varphi — угол между направлением данного главного сечения и первым из главных сечений (с радиусом R1).
    5. об Эйлеровой характеристике: для любого выпуклого многогранника (в трехмерном пространстве) верно равенство В-Р+Г=2, где В — число вершин многогранника, Р — число его ребер, а Г — граней.

Ц

  • Центр
    • масс
    • системы точек Пусть задана система точек с приписанными им массами, то есть имеется набор пар (Xi,mi), где Xi — точка плоскости, a mi — положительное число. Центром масс системы точек X_1,\ldots,X_n с массами m_1,\ldots,m_n называют точку O, для которой выполняется равенство m_1\overrightarrow{OX_1}+\ldots+m_n\overrightarrow{OX_n}=\overrightarrow 0.
    • — Центр масс любой системы точек существует, причем только один.
    • — Важнейшим свойством центра масс, на котором основаны почти все его применения, является теорема о группировке масс: центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме их масс.
    • радикальный трех окружностей Рассмотрим три окружности на плоскости, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Тогда все три радикальные оси пересекаются в одной точке, которая и называется радикальным центром трех данных окружностей.

Э

  • Эксцентриситет
  • Эллипс Есть несколько эквивалентных определений эллипса:
    1. Эллипсом называется множество точек плоскости, которое в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1. Данное уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а число e=\sqrt{1-b^2/a^2} при a\ge b называют эксцентриситетом. Прямые x=\pm a/e называют директрисами эллипса. (У эллипса, не являющегося окружностью, есть ровно две директрисы.)
    2. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 есть постоянная величина. Точки F1 и F2 называют фокусами эллипса.
    • — Отношение расстояния от точки эллипса до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равно эксцентриситету e. Верно и обратное: если дана точка F и прямая l, не содержащая F, то множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу положительному числу e < 1, является эллипсом. Окружность является частным случаем эллипса (в этом случае фокусы совпадают между собой и являются центром окружности).
    • — Эллипс является коническим сечением, то есть он может быть получен как сечение конуса подходящей плоскостью.
    • — Эллиптическое зеркало обладает тем свойством, что луч света, выпущенный из одного фокуса, после первого отражения обязательно пройдет через второй фокус.
    • Штейнера Для данного треугольника ABC существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом, который называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера.
    • — Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник, а описанный — наименьшую среди всех описанных.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home