Аксиоматика вещественных чисел

Аксиома́тика веще́ственных чи́сел — система аксиом, один из способов определения вещественных (действительных) чисел.

Содержание

Аксиомы сложения

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через \mathbb{R} (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.

  1. \forall x, y \in \mathbb{R}\quad (x + y) = (y + x) (коммутативность сложения);
  2. \forall x, y, z \in \mathbb{R}\quad (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
  3. \forall x \in \mathbb{R}\quad \exists 0: \quad x + 0 = x (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
  4. \forall x \in \mathbb{R}\quad \exists (-x): \quad x + (-x) = 0 (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения

На \mathbb{R} введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x \cdot y (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.

  1. \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) = (y \cdot x) (коммутативность умножения);
  2. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (ассоциативность умножения);
  3. \forall x \in \mathbb{R} \quad \exists 1: \quad x\cdot 1=x (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
  4. \forall x\in\mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \exists x^{-1}: \quad x\cdot x^{-1}=1 (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения

  1. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка

На \mathbb{R} задано отношение порядка «\leq» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из \mathbb{R} выполняется хотя бы одно из условий x \leq y или y \leq x.

  1. \forall x \in \mathbb{R} \quad x \leq x;
  2. \forall x, y, z \in\mathbb{R} \quad (x \leq y \and y \leq z) \Rightarrow x \leq z;
  3. \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \leq y \and y \leq x) \Rightarrow x=y.

Связь отношения порядка и сложения

  1. \forall x,y,z\in\mathbb{R} \quad x\leq y \quad \Rightarrow \quad x+z\leq y+z.

Связь отношения порядка и умножения

  1. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \leq y \and 0 \leq z) \Rightarrow x \cdot z \leq y \cdot z.

Аксиома непрерывности

\forall X, Y \subset \mathbb{R} \quad (X, Y \neq \emptyset \;\and\; (\forall x \in X\; \forall y \in Y \quad x \leq y)) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}: \quad \forall x \in X \forall y \in Y \quad x \leq c \leq y.

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например, единственность нуля, противоположного и обратного элементов (доказываются от противного).

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home