Теория пределов

Предел последовательности

Основная статья: Предел последовательности

Число a называется пределом последовательности x1,x2,...,xn,... если для любого ε > 0 существует N, такое что \foralln>N, | xna | < ε. Предел последовательности обозначается \lim_n x_n. Куда именно стремится n, можно не указывать, поскольку если это натуральное число, то оно может стремиться только к +\infty.

Свойства:

  • Если предел последовательности существует, то он единственный.
  • \lim_n c = c
  • \lim_n (x_n + y_n) = \lim_n x_n + \lim_n y_n (если оба предела существуют)
  • \lim_n (q x_n) = q \lim_n x_n
  • \lim_n (x_n * y_n) = \lim_n x_n \times \lim_n y_n (если оба предела существуют)
  • \lim_n (x_n / y_n) = \lim_n x_n / \lim_n y_n (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
  • Если a_n > x_n > b_n \forall n и \lim_n a_n = \lim_n b_n , то \lim_n x_n = \lim_n a_n = \lim_n b_n (теорема «о двух милиционерах»)

Предел функции

Основная статья: Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) в точке a, если \forall \epsilon > 0 существует δ > 0, такое что \forall x, 0 < |x-a| <\delta выполняется | f(x) − b | < ε.

Для пределов функций справедливы аналогичные свойства, как и для пределов последовательностей, например \lim_{x\to x_0} (f(x)+ g(x))= \lim_{x\to x_0} f(x)+ \lim_{x\to x_0} g(x), если все члены существуют.

Обобщенное понятие предела последовательности

Пусть X — некоторое множество, в котором определено понятие окрестности U(например метрическое пространство). Пусть x_i \in X — последовательность точек (элементов) этого пространства. Говорят, что x \in X есть предел этой последовательности, если в любой окретности точки x лежат почти все члены последовательности то есть \forall U(x) \exist n \forall i>n x_i \in U(x)

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home