Алгебра Ли

Определение

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется унитарный k- модуль \mathfrak{L} над коммутативным кольцом k с единицей, если он снабжён билинейным отображением
\mathfrak{L}² →\mathfrak{L} : (x, y)→[x,y], и это отображение удовлетворяет следующим двум аксиомам:
1)[x,x] = 0;
2)[x,[y,z]] + [y,[z,x]] + [z,[x,y]] = 0;

Замечания

• Непосредственным следствием из аксиомы 1 является антикоммутативность. Вторую аксиому называют тождеством Якоби.
• Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
• Лиева алгебра \mathfrak{L} называется коммутативной, если\forall x, y \in \mathfrak{L} : [x, y] = 0.
• Особенно интересен случай, когда k— поле, а \mathfrak{L} — векторное пространство.

Источники примеров алгебр Ли

Множество всех дифференцирований любой k-алгебры

Множество Der (\mathfrak{A}) всех дифференцирований любой k - алгебры является лиевой алгеброй с операцией [D₁,D₂] = D₁\circ D₂ — D₂\circ D₁.
Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида adx:y→[x, y]; x, y \in \mathfrak{L}.
Они образуют в Der (\mathfrak{L}) подалгебру ad \mathfrak{L} и отображение x→adx является гомоморфизмом\mathfrak{L}→Der (\mathfrak{L}), называемым присоединённым представлением лиевой алгебры\mathfrak{L}. Его образad \mathfrak{L} изоморфен факторалгебре алгебры \mathfrak{L} по её центру Z(L):=\{x \in \mathfrak{L}| [x,y] = 0; \forall y\in \mathfrak{L}\}.

Ассоциативные алгебры над k и умножение в k - модуле

Положим \mathfrak{A} - ассоциативная алгебра над k с умножением: (x,y) → xy. Тогда умножение в k - модуле \mathfrak{A}, задаваемое следующим правилом: (x,y)→[x,y] = xy − yx, наделяет \mathfrak{A} структурой лиевой алгебры над k.