Момент импульса

Момент импульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) — количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолиненом движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Содержание

Момент импульса в классической механике

Определение

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчета:

\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} ,

где L – момент импульса, r – координатный вектор относительно начла отсчета, p – импульс.

В системе СИ единицами момента импульса являются джоуль на секунду; Дж·с.

Так как L является векторным произведением, то определяется как псевдовектор, перпендикулярный обоим векторам r и p. В случаях, когда вращение идет вокруг одной оси, можно рассматривать момент импульса не как псевдовектор, а как скаляр, который будет положительным при вращении против часовой стрелки и отрицательным при вращении по часовой стрелке.

L = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin \theta_{r,p} ,

где θr,p - угол между r и p, вычисленный от r к p; это важное отличие, так как без него знак векторного произведения будет бессмысленным. Так что мы можем переписать формулу как:

L = \pm|\mathbf{p}||\mathbf{r}_{\perp}| ,

где r⊥ длина плеча рычага до p. Самый лучший способ осмыслить, это рассмотреть длину плеча рычага, как расстояние от точки отсчета до линии, вдоль которой проходит p. При таком определении необходимо рассматривать направление p (по часовой стрелке или против) при вычислении L:

L = \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}_{\perp}| ,

где p⊥ компонента p, перпендикулярная r. Для объектов с фиксированной массой, которые вращаются вокруг фиксированных, симметричных осей, момент импульса может быть вычислен как произведение момента инерции и угловой скорости:

\mathbf{L}= I \mathbf{\omega} ,

где I – момент инерции, ω – угловая скорость.

Аддитивность

Момент импульса системы равен сумме моментов импульса её подсистем:

Ltotal = L1 + L2 + ...

Сохранение углового момента

В закрытых системах момент импульса постоянен. Закон сохранения математически следует из симметрии пространства. Производная момента импульса по времени есть момент силы:

\tau = \frac{d\mathbf{L}}{dt} = \mathbf{r} \times \frac{d\mathbf{p}}{dt} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} ,

Таким образом, требование системы быть «закрытой», означает равенство нулю внешнего момента силы:

\mathbf{L}_{\mathrm{system}} = \mathrm{constant} \leftrightarrow \sum \tau_{\mathrm{ext}} = 0 ,

где τext любой момент силы, приложенный к системе частиц.

На орбитах момент импульса распределяется между вращение планеты вокруг себя и момента импульса его орбит:

\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}};.

Момент импульса в электродинамике

При описании движения заряженной частицы в электромагнитном поле, канонический импульс p не является инвариантным. Как следствие, канонический момент импульса \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} тоже не инвариантен. Тогда берем реальный импульс, который также называется «кинетическим импульсом»:

\mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}

где e – электрический заряд, с – скорость света, А – векторный потенциал. Таким образом, Гамильтониан (инвариантный) заряженной частицы массы m в электромагнитном поле:

H =\frac{1}{2m} \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)^2 + e\phi

где φ – скалярный потенциал. Из этого потенциала следует закон Лоренца. Инвариантный момент импульса или «кинетический момент импульса» определяется:

K= \mathbf{r} \times \left( \mathbf{p} -\frac {e \mathbf{A} }{c}\right)

Момент импульса в квантовой механике

В квантовой механике момент импульса квантуется, это значит, что он может изменяться только по «квантовым уровням» между точно определенными значениями. Момент импульса субатомных частиц зависит от их движения через пространство, и должен быть целым числом, умноженным на \hbar и поделенная на . К тому же эксперименты показывают, что большинство субатомных частиц имеют постоянный, внутренний момент импульса, который не зависит от их движения через пространство. Этот спиновой момент импульса измеряется в единицах \hbar/2 . Например электрон в состоянии покоя имеет момент импульса \hbar/2..

В классическом определении момент импульса зависит от 6 переменных rx, ry, rz, px, py, и pz. Переводя это на квантомеханические определения, используя принцип неопределенности Гейзенберга, получаем, что невозможно вычислить все шесть переменных одновременно с любой точностью. Поэтому есть ограничение на то, что мы можем узнать или подсчитать о практическом моменте импульса. Это значит, что лучшее, что мы можем сделать – это подсчитать одновременно величину вектора момента импульса и его компоненты по осям.

Математически, момент импульса в квантовой механике определяется как количество движения – не количественно, а как оператор волновой функции:

\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p} ,

где r и p координатный и импульсный оператор соответственно. В частности, для одной частицы без электрического заряда и без спина, оператор углового момента может быть записан как:

\mathbf{L}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla) ,

где \nabla - оператор дифференцирования, называемый «набла» (градиент). Это часто встречающаяся форма оператора момента импульса, но не самая главная, она имеет следующие свойства:

[L_i, L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k, \left[L_i, L^2 \right] = 0

и даже более важные подстановки с Гамильтонианом частицы без заряда и спина:

\left[L_i, H \right] = 0. .

Операторы момента импульса обычно встречаются при решении задач сферической симметрии в сферических координатах. Тогда момент импульса в пространственном отображении:

\ - \frac{1}{\hbar^2} L^2 = \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}

Когда находят собственные значения этого оператора, получают следующее:

L^2 | l, m \rang = {\hbar}^2 l(l+1) | l, m \rang
L_z | l, m \rang = \hbar m | l, m \rang

, где

\lang \theta , \phi | l, m \rang = Y_{l,m}(\theta,\phi)

- сферические гармоники.

Вычисление момента импульса

Если имеется материальная точка массой m, двигающаяся со скоростью \mathbf{v} и находящаяся в точке, описываемой радиусом вектором \mathbf{r}, вычисляется по формуле:

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v},

где \times - значок векторного произведения.

Чтобы рассчитать момент импульса сложного тела, его надо разбить на бесконечно-малые кусочки и векторно просуммировать их моменты, как моменты импульса материальных точек, то есть, взять интеграл :

L = int_V {\vec{dL}}
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home