Теория очевидностей Демпстера — Шафера

Эта статья или раздел нуждается в переработке.
Пожалуйста, улучшите её в соответствии с правилами написания статей.

Демпстера-Шафера теория - это математическая теория очевидностей (свидетельств) ([SH76]), основанная на функции доверия (belief functions) и функции правдоподобия (plausible reasoning), которые используются, чтобы скомбинировать отдельные части информации (свидетельства) для вычисления вероятности события. Теория была развита Артуром П. Демпстером (Arthur P. Dempster) и Гленном Шафером (Glenn Shafer).

Содержание

Рассмотрим двух возможных игроков

Формализм

Пусть X\,\!универсальное множество, набор всех рассматриваемых утверждений. Показательное множество, P(X)\,\!, совокупность всех подмножеств множества X\,\!, включая пустое множество, \emptyset. Например, если:

X = \left \{ a, b \right \} \,\!

то

P(X) = \left \{ \emptyset, \left \{ a \right \}, \left \{ b \right \}, X \right \} \,\!

По определению, масса пустого множества — ноль:

m(\emptyset) = 0 \,\!

Массы оставшихся элементов показательного множества нормированы на единичную сумму:

1 = \sum_{A \in P(X)} m(A) \,\!

Масса m(A) \,\! элемента показательного множества, A\,\!, выражает соотношение всех уместных и доступных свидетельств, которые поддерживают утверждение, что определенный элемент X\,\! принадлежит A\,\! но не принадлежит ни одному подмножетсву A\,\!. Величина m(A)\,\! относится только к множеству A\,\! и не создает никаких дополнительных утверждений о других подмножествах A\,\!, каждое из еоторых, по определению, имеет свою собственную массу.

Исходя из приписаных масс, могут быть определены верхняя и нижняя границы интервала возможностей. Этот интервал содержит точную величину вероятности рассматриваемого подмножетсва (в классическом смысле), и ограничена двумя неаддитивными непрерывными мерами, называеыми доверие (belief) (or поддержка (support)) and правдоподобие (plausibility):

bel(A) \le P(A) \le pl(A)\,\!

Доверие bel(A)\,\! к множеству A\,\! определяется как сумма всех масс собственных подмножеств рассматривеаемого множества:

bel(A) = \sum_{B \mid B \subseteq A} m(B)

Правдоподобие pl(A)\,\! — это сумма масс всех множеств B\,\! пересекающихся с рассматриваемым множеством A\,\!:

pl(A) = \sum_{B \mid B \cap A \ne \emptyset} m(B)

Эти две меры соотносятся между собой следующим образом:

pl(A) = 1 - bel(\overline{A})\,\!

Из вышенаписанного следует, что достаточно знать хотябы одну из мер (массу, доверие или правдоподобие), чтобы вычислить оставшиеся две.

Рассмотрим проблемму объединения двух независимых множеств приписаных масс. Исходное праило объединения известное как Dempster's rule of combination является обобщением Bayes' rule. Это правило придает особое значение согласию между многочисленными источниками и игнорирует все конвликтующие свидетельства с помощью нормализации. Правомерность использования этого правила подвергается серйозным сомнениям в случае значительных несоответствий между источниками информации.

Собственно, объединение (называемое присоединенная маса) вычисляется из двух множеств масс m_1\,\! и m_2\,\! следующим образом:

m_{1,2}(\emptyset) = 0 \,\!

m_{1,2}(A) = \frac {1}{1 - K} \sum_{B \cap C = A \ne \emptyset} m_1(B) m_2(C) \,\!

где:

K = \sum_{B \cap C = \emptyset} m_1(B) m_2(C) \,\!

K\,\! является мерой конфликта между двумя наборами масс. Нормализирующий множитель, 1-K\,\!, соответствует полному игнорированию несоответствий и приписыванию любой массе, соответствующей конфликту, пустого множества. Следовательно, эта операция приводит к контринтуитивным результатас в случае значительного конфликта при определенных обстоятельствах.

Дискуссия

Поддержка и правдоподобность

Литература

  • [DE68] Dempster, Arthur P.; A generalization of Bayesian inference, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, Vol. 30, pp. 205-247, 1968
  • [SH76] Shafer, Glenn; A Mathematical Theory of Evidence, Princeton University Press, 1976
  • [SH02] Shafer, Glenn; Dempster-Shafer theory, 2002

См. также

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home