Функция Вигнера

Функция Вигнера была введена Вигнером в 1932 году для изучения квантовых поправок к классической статистической механике. Целью было заменить волновую функцию, которая появляется в уравнениии Шрёдингера на функцию распределения вероятности в фазовом пространстве. Она была независимо выведена Вейлем в 1931 как символ матрицы плотности теории представлений в математике. Функция Вигнера также называется Функцикй квазивероятностного распределения Вигнера, распределением Вигнера, распределением Вейля. Функция Вигнера применяется в статистической механике, квантовой химии, квантовой оптике, классической оптике и анализе сигналов в различных областях, таких как электроника, сейсмология, биология.

Классическая частица имеет определённое положение и импульс и поэтому представляется точкой в фазовом пространстве. Когда имеется набор (ансамбль) частиц, вероятность найти частицу в определённом малом объёме фазового пространства задаётся функцией распределения вероятности. Это не верно для квантовой частицы из-за принципа неопределённости. Вместо этого можно ввести квази-вероятностное распределение, которое не обязано удовлетворять всем свойствам нормальной функции распределения вероятности. Например, функция Вигнера становится отрицательной для состояний, которые не имеют классических аналогов, поэтому может быть использована для идентификации неклассических состояний.

Распределение Вигнера P(q, p) определяется как:

P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy}

где ψ — волновая функция, а x и p — координата и импульс, но могут присутствовать любые сопряжённые пары переменных (то есть реальная и мнимые части электрического поля или частоты и времени сигнала). Она симметрична по x и p:

P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dq\, \phi^*(p+q)\phi(p-q)e^{-2ixq}

где φ — фурье преобразование ψ.

В случае смешанного состояния:

P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \langle x-y| \hat{\rho} |x+y \rangle e^{2ipy}

где ρ — матрица плотности.

Содержание

Математические свойства

1. P(x, p) — реальна

2. Распределения вероятности по x и p задаются интегралами:

  • \int_{-\infty}^{\infty}dp\,P(x,p)=|\psi(x)|^2=\langle x|\hat{\rho}|x \rangle
  • \int_{-\infty}^{\infty}dx\,P(x,p)=|\phi(p)|^2=\langle p|\hat{\rho}|p \rangle
  • \int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{\infty}dp\,P(x,p)=Tr(\hat{\rho})
  • Обычно след ρ равен 1.
  • 1. и 2. предполагает, что P(x,p) отрицательна где-нибудь, за исключением когерентного состояния (и смешанных когерентных состояний) и сдавленных вакуумных состояний.

3. P(x, p) обладает следующими зеркальными симметриями:

  • Временная симметрия: \psi(x) \rightarrow \psi(x)^* \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(x,-p)
  • Пространственная симметрия: \psi(x) \rightarrow \psi(-x) \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(-x,-p)

4. P(x, p) инвариант относительно преобразований Галилея:

  • \psi(x) \rightarrow \psi(x+y) \Rightarrow P(x,p) \rightarrow P(x+y,p)
  • Она не инвариантно относительно преобразований Лоренца.

5. Уравнения движения для каждой точки в фазовом пространстве классические в отсутствии сил:

  • \frac{\partial P(x,p)}{\partial t}=\frac{-p}{m}\frac{\partial P(x,p)}{\partial x}

6. Перекрытие состояний вычисляется как:

  • |\langle \psi|\theta \rangle|^2=2\pi\hbar\int_{-\infty}^{\infty}dx\,\int_{-\infty}^{\infty}dp\,P_{\psi}(x,p)P_{\theta}(x,p)

7. Операторы и средние значения вычисляются как:

  • A(x,p)=\int_{-\infty}^{\infty}dy\, \langle x-y/2| \hat{A} |x+y/2 \rangle e^{ipy/\hbar}
  • \langle \psi|\hat{A}|\psi\rangle=Tr(\hat{\rho}\hat{A})=\int_{-\infty}^{\infty}dx\, \int_{-\infty}^{\infty}dp P(x,p)A(x,p)

8. С тем чтобы P(x, p) представляла физические матрицы плотности необходимо:

  • \int_{-\infty}^{\infty}dx\, \int_{-\infty}^{\infty}dp\, P(x,p)P_{\theta}(x,p)\ge 0

где |θ> чистое состояние.

Измерение функции Вигнера

Ссылки

  • E.P. Wigner, On the quantum correction for thermodynamic equilibrium, Phys. Rev. 40 (June 1932) 749-759.
  • H. Weyl, Z. Phys. 46, 1 (1927).
  • H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Leipzig: Hirzel)(1928).
  • H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics (Dover, New York, 1931).
  • J. Ville, Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique, Cables et Transmission, 2A: (1948) 61-74.
  • W. Heisenberg, Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen, Physik. Zeitschr. 32, 737-740 (1931).
  • P.A.M. Dirac, Note on exchange phenomena in the Thomas atom, Proc. Camb. Phil. Soc. 26, 376-395 (1930).
  • C. Zachos, D. Fairlie, and T. Curtright, Quantum Mechanics in Phase Space ( World Scientific, Singapore, 2005).

Внешние ссылки

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home