Матрица поворота

Предлагается объединить эту статью с Матрица вращения. (Обсудить)

Матрицей поворота называется матрица, умножение вектора на которую не меняет его длины.

Матрица поворота в двумерном пространстве

В двумерном пространстве поворот можно описать одним углом θ. Положительным углам соответствует вращение против часовой стрелки.

Матрица поворота вектора в декартовой системе координат:

M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix}


Матрица поворота в трёхмерном пространстве

В трёхмерном пространстве для описания поворота нужны либо три угла Эйлера (α,β,γ), либо один угол поворота θ и вектор оси вращения \hat{\mathbf{v}} = (x,y,z).

Матрицы поворота вектора в декартовой системе координат, соответствующие этим двум способам задания поворота:

M(\alpha,\beta,\gamma) = \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma & - \sin \alpha \cos \gamma - \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma & \sin \beta \sin \gamma \\ \cos \alpha \sin \gamma + \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma & - \sin \alpha \sin \gamma + \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma & - \sin \beta \cos \gamma \\ \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}

и

M(\hat{\mathbf{v}},\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x \\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{bmatrix}


Свойства матрицы поворота

Если M — матрица, задающая поворот вокруг оси \vec n на угол φ, то:

  • |M \vec v| = |\vec v| \forall \vec v
  • M \vec n = \vec n
  • (M \vec v,\vec v) = \cos(\varphi)
  • detM = 1 (матрица имеет единичный определитель).
  • если строки (или столбцы матрицы) рассматривать как координаты векторов \vec a, \vec b, \vec c, то верны следующие соотношения):
    • |\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = 1
    • \vec a \vec b = 0, \vec b \vec c = 0, \vec c \vec a = 0
    • \vec a \times \vec b = \vec c, \vec b \times \vec c = \vec a, \vec c \times \vec a = \vec b
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home