Фильтр Чебышёва

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышёва
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра

Фильтр Чебышёва — один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышёва I рода) и подавления (фильтр Чебышёва II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного российского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышёва, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышёва.

Фильтры Чебышёва обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.

Различают фильтры Чебышёва I и II родов.

Содержание

Фильтр Чебышёва I рода

Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышёва. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра n \!-го порядка задаётся следующим выражением:

G_n(\omega) = \left | H_n(j \omega) \right | = \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2 T_n^2\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)}}

где ε — показатель пульсаций, ω0 — частота среза, а Tn() — многочлен Чебышёва n \!-го порядка.

В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации (англ. ripple factor) ε. В полосе пропускания многочлены Чебышёва принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального \! G=1 до минимального G=1/\sqrt{1+\epsilon^2}. На частоте среза ω0 коэффициент усиления имеет значение 1/\sqrt{1+\epsilon^2}, а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты. (Примечание: обычное определение частоты среза как частоты, когда ЛАЧХ имеет значение −3 дБ в случае фильтра Чебышёва не работает).

В случае аналогового электронного фильтра Чебышёва его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.

Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:

Пульсации в дБ = 20 \log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+\epsilon^2}}

к примеру, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют \epsilon = 1 \!.

Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси jω в комплексной плоскости. Это однако приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.

Полюсы и нули

Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюсы pm) фильтра Чебышёва являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту s, получим:

1+\epsilon^2T_n^2(-js)=0

Представив js = cos(θ) и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышёва, получим:

1+\epsilon^2T_n^2(\cos(\theta))=1+\epsilon^2\cos^2(n\theta)=0

Разрешим последнее выражение относительно θ

\theta=\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\epsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}

Тогда полюсы фильтра Чебышёва определяются из следующего выражения:

s_{pm}=i\cos(\theta)\,
=i\cos\left(\frac{1}{n}\arccos\left(\frac{\pm j}{\epsilon}\right)+\frac{m\pi}{n}\right)

Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:

s_{pm}^\pm= \pm \sinh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)
+j \cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)

где m=1,2,…n и

\theta_m=\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}

Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром θn. Оно показывает, что полюсы лежат на эллипсе в s \!-плоскости, причём центр эллипса находится в точке s=0 \!, полуось действительной оси имеет длину sinh(arcsinh(1 / ε) / n), а полуось мнимой оси имеет длину cosh(arcsinh(1 / ε) / n)

Передаточная функция

Уравнение, выведенное выше, содержит полюсы, относящиеся к комплексному коэффициенту усиления фильтра G. Для каждого полюса есть комплексно-сопряжённый, а для каждой комплексно-сопряжённой пары есть два полюса, отличающихся от них только знаком. Передаточная функция должна быть устойчивой, что означает, что её полюсы должны иметь отрицательную действительную часть, то есть лежать в левой полуплоскости комплексной плоскости. Передаточная функция в этом случае задаётся следующим выражением:

H(s)=\prod_{m=0}^{n-1} \frac{1}{(s-s_{pm}^-)}

где s_{pm}^- — только те полюсы, которые имеют отрицательную действительную часть.

Групповая задержка

Групповая задержка определяется как производная фазы фильтра по частоте и является мерой искажения фазы сигнала на различных частотах.

\tau_g=\frac{d}{d\omega}\arg(H(j\omega))

Фазовые характеристика

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва I рода — фазо-частотная характеристики (ФЧХ) и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

\tau_{\phi}=\frac{\arg(H(j\omega)}{\omega}

Временные характеристики

Временные характеристики фильтра Чебышёва I рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.


Фильтр Чебышёва II рода

Фильтр Чебышёва II рода (инверсный фильтр Чебышёва) используется реже, чем фильтр Чебышёва I рода ввиду менее крутого спада амплитудной характеристики, что приводит к увеличению числа компонентов. У него отсутствуют пульсации в полосе пропускания, однако присутствуют в полосе подавления. Амплитудная характеристика такого фильтра задаётся следующим выражением:

G_n(\omega,\omega_0) = \frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1} {\epsilon^2 T_n ^2 \left ( \omega_0 / \omega \right )}}}

В полосе подавления полиномы Чебышёва принимают значения от 0 до 1, из-за чего амплитудная характеристика такого фильтра принимает значения от нуля до

\frac{1}{\sqrt{1+ \frac{1}{\epsilon^2}}}

минимальной частотой, при которой достигается этот максимум является частота среза ω0. Параметр ε связан с затуханием в полосе подавления γ в децибелах следующим выражением:

\epsilon = \frac{1}{\sqrt{10^{0.1\gamma}-1}}

Для затухания на частотах полосы подавления в 5 дБ: ε = 0.6801; для затухания в 10 дБ: ε = 0.3333. Частота fC = ωC/2 π является частотой среза. Частота затухания в 3 дБ fH связана с fC следующим выражением:

f_H = f_C \cosh \left(\frac{1}{n} \cosh^{-1}\frac{1}{\epsilon}\right)

Полюсы и нули

Приняв частоту среза равной единице, получим выражение для полюсов pm) фильтра Чебышёва:

1+\epsilon^2T_n^2(-1/js_{pm})=0

Полюса фильтра Чебышёва II рода представляют собой «инверсию» полюсов фильтра Чебышёва I рода:

\frac{1}{s_{pm}^\pm}= \pm \sinh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right)\sin(\theta_m)
\qquad+j \cosh\left(\frac{1}{n}\mathrm{arcsinh}\left(\frac{1}{\epsilon}\right)\right)\cos(\theta_m)

где m=1, 2,…, n . Нули zm) фильтра Чебышёва II рода определяются из следующего соотношения::

\epsilon^2T_n^2(-1/js_{zm})=0

Нули фильтра Чебышёва II рода являются «инверсией» нулей многочленов Чебышёва:

1/s_{zm} = \cos\left(\frac{\pi}{2}\,\frac{2m-1}{n}\right)

где m=1,2,…,n .

Передаточная функция

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комлексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

Групповая задержка

Амплитудная характеристика и групповая задержка показаны на графике. Можно видеть, что пульсации амплитуды приходятся на полосу подавления, а не на полосу пропускания.

Фазовые характеристики

Фазовые характеристики фильтра Чебышёва II рода — фазо-частотная характеристики и фазовая задержка — представлены на рисунке. Фазо-частотная характеристика показывает распределение по частоте смещения фазы выходного сигнала относительно входного. Фазовая задержка определяется как частное от деления фазо-частотной характеристики на частоту и характеризует распределение по частоте временного смещения выходного сигнала относительно входного.

Временные характеристики

Временные характеристики фильтра Чебышёва II рода — импульсная переходная функция и переходная функция — представлены на рисунке. Импульсная переходная функция представляет собой реакцию фильтра на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака, а переходная функция — реакцию на входное воздействие в виде единичной функции Хевисайда.


Цифровые фильтры Чебышёва

Фильтры Чебышёва часто реализуются в цифровой форме. Для того, чтобы от аналогового фильтра перейти к цифровому, необходимо над каждым каскадом фильтра осуществить билинейное преобразование. Весь фильтр получается путём последовательного соединения каскадов. Простой пример фильтра Чебышёва низких частот I рода чётного порядка:

Z-преобразование каждого каскада:

S(Z) =\frac{a(Z)}{b(Z)}=\frac{\alpha_0 + \alpha_1 \cdot Z^{-1}+ \alpha_2 \cdot Z^{-2}}{1 + \beta_1 \cdot Z^{-1} + \beta_2 \cdot Z^{-2}}.

Во временной области преобразование записывается как:

y[n]=\alpha_0 \cdot x[0] + \alpha_1 \cdot x[-1] + \alpha_2 \cdot x[-2] - \beta_1 \cdot y[-1] - \beta_2 \cdot y[-2]


Коэффициенты \alpha_i \! и \beta_i \! подсчитываются из коэффициентов a_i \! и \! b_i:

K = \tan( \pi \frac{Frequency}{SampleRate})


temp_i =\cos\frac{(2i+1)*\pi}{n}


b_i = \frac{1}{\cosh(\gamma)^2-temp_i ^2}
a_i = K \cdot b_i \cdot \sinh(\gamma) \cdot 2temp_i


\alpha_0 = K \cdot K
\alpha_1 = 2 \cdot K^2
\alpha_2 = K \cdot K


\beta_0^\prime = (a_i + K^2 + b_i)
\beta_1^\prime = 2 \cdot (b_i - K^2)
\beta_2^\prime = (a_i - K^2 - b_i)


\beta_1 = \beta_1^\prime / \beta_0^\prime
\beta_2 = \beta_2^\prime / \beta_0^\prime

Для получения фильтра Чебышёва более высокого порядка, необходимо соединить последовательно несколько каскадов.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Ниже представлены графики АЧХ фильтра Чебышёва I и II родов в сравнении с некоторыми другими фильтрами с тем же числом коэффициентов:

По графикам видно, что амплитудная характеристики фильтров Чебышёва имее более крутой спад, чем у фильтров Баттерворта, но не такой крутой, как у эллиптического фильтра.

См. также

Библиография

  • В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
  • Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
  • Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. ISBN 0070153086
  • Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0966017641
  • Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. ISBN 0070540047
  • B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. ISBN 0130040290
  • S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. ISBN 0130901261
  • Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. ISBN 0898381630
  • J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. ISBN 0387075631
  • L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. ISBN 0132136031
  • Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. ISBN 013212887X
  • A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. ISBN 0132146355
  • L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. ISBN 0139141014
  • John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. ISBN 002396815x

Ссылки

Математический Портал — мир цифр на страницах Википедии.
Эта статья входит в число хороших статей русского раздела Википедии.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home