Наблюдатель (динамические системы)

Система

\dot q(t)=F(t)q(t)+G(t)y(t)+H(t)u(t) (1)
z(t)=K(t)q(t)+L(t)y(t)+M(t)u(t)\! (2)

является наблюдателем для системы

\dot x(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) (3),
y(t)=C(t)x(t)\! (4),

если для каждого начального состояния x(t_0)\! системы (3)-(4) существует начальное состояние q_0\! для системы (1)-(2), такое, что равенство q(t_0)=q_0\! приводит к z(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0.

Здесь A(t), B(t), C(t), F(t), G(t), H(t), K(t), L(t), M(t)\! — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность q(t)\! равна размерности x(t)\! и выполнение условия q(t_0)=x(t_0)\! дает q(t)=x(t), t \ge t_0 при всех управлениях u(t), t \ge t_0, то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы. n\!-мерный вектор x(t)\!, называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени t\!. r\!-мерный вектор u(t)\! описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

l\!-мерный вектор y(t)\! представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно l<n\!. y(t)\! называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда F(t)=A(t)-K(t)C(t)\!, G(t)=K(t)\!, H(t)=B(t)\!, где K(t)\! является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

\dot q(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t)] (5).

Матрица K(t)\! называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде \dot q(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t)], откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы A(t)-K(t)C(t)\!.

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления K\!, устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы A-KC\!, называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

e(t)=x(t)-q(t)\!

удовлетворяет дифференциальному уравнению

\dot e(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t).

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

e(t) \to 0 при t \to 0

для всех e(t_0)\! тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления K\!, однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной y(t)\!.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home