Дистрибутивная решётка

Дистрибутивная решёткарешётка, в которой справедливо тождество

(a + b)c = ac + bc,


равносильное как

ab + c = (a + c)(b + c),


так и

(a + b)(a + c)(b + c) = ab + ac + bc.

Дистрибутивные решётки характеризуются тем, что все их выпуклые подрешётки служат смежными классами конгруэнций. Всякая дистрибутивная решётка изоморфна решётке подмножеств (но не обязательно всех) некоторого множества. Частным случаем дистрибутивных решёток являются импликативные решётки, например, булевы алгебры. В дистрибутивных решётках для любого конечного множества I выполняются равенства

a \sum _{i \in I} b_i = \sum _{i \in I} ab_i

и

a+\prod _{i \in I} b_i = \prod _{i \in I} (a+b_i)

а также

\prod _{i \in I} \sum _{i \in J(i)} a_{i,j} = \sum _{\phi \in \Phi} \prod _{i \in I} a_{i \phi(i)}


и

\sum _{i \in I} \prod _{j \in J(i)} a_(i,j) = \prod _{\phi \in \Phi} \sum _{i \in I} a_{i \phi (i)},


где J(i) — конечные множества, а Φ — множество всех однозначных функций φ, ставящих в соответствие элементу i из I элемент φ(i) из J(i). В полной дистрибутивной решётке указанные равенства имеют смысл и в случае бесконечных множеств I и J(i). Однако справедливы они не всегда. Полные дистрибутивные решётки, удовлетворяющие последним двум тождествам для любых множеств I и J(i), называются вполне дистрибутивными.

Литература

  • Математическая энциклопедия
  • Биркгоф Г., Теория структур, перевод с английского, Москва, 1952;
  • Скорняков Л. А., Элементы теории структур, Москва, 1970;
  • Grätzer G., Lattice theory. First concepts and distributive lattices, San Francisco, 1971.
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home