Теорема Нэша о регулярных вложениях

Теорема Нэша о регулярных вложениях.

Всякое риманово многообразие (Vm,g) класса Cr, 3\le r\le\infty, допускает изометрическое Cr вложение в \R^n, где n = m2 + 5m + 3.

Нэш также доказал аналогичный результат для аналитических вложений.

О доказательстве

Эта теорема получена в результате применения теоремы об обращении широкого класса дифференциальных операторов, теоремы Нэша — Мозера — обобщения теоремы о неявной функции, называемая. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости некоторой линейной алгебраической системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором L, и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, то есть оператор L локально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения f:V^m\to \R^n по внутренним координатам V должны быть поточечно линейно независимыми (такие вложения называются свободными). Из обобщенной теоремы о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие V, достаточно близкое к компактному риманову многообразию V, допускающему свободное вложение в \R^n, также допускает свободное вложение в \R^n.

Как только это доказано, утверждение теоремы получается нехитрой конструкцией: Строится короткое свободное вложение f:V\to \R^p. Пусть g1 < g метрика индуцированная f. Строится почти изометрическое вложение h:(V,g_2)\to \R^q, g2 = gg1, то есть вложение с индуцированной метрикой g'2 произвольно близкой к g2 (это выполняется с помощью конструкции называемой скручиванием Нэша) после чего используем теорему Нэша — Мозера получаем вложение f':V\to \R^p близкое к f:V\to \R^p с индуцированной метрикой g1' = gg2'. Эти два вложения дают изометрическое вложение:

(f',h):V\to \R^p\times\R^q=\R^{p+q},   (f',h)(x) = (f'(x),h(x))

Коментарии

  • Аналогичная теорема для псевдо-римановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдо-евклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.

Литература

  • Нэш, Дж., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 4, с. 173—216;
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home