Кривая второго порядка

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0\,\!

в котором по крайней мере один из коэффициентов a11, a12, a22 отличен от нуля.

Содержание

Инварианты

Вид кривой зависит от 4 инвариантов:

  • инварианты относительно поворота и сдвига системы координат
    • \Delta\,\!=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}
    • D\,\!=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}
    • I\,\!=Tr\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22}\end{pmatrix}=a_{11}+a_{22}
  • инвариант относиттельно поворота системы координат
    • B\,\!=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{13} & a_{33}\end{pmatrix}+det\begin{pmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{23} & a_{33}\end{pmatrix}

Классификация кривых второго порядка

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется «невырожденной», если \Delta\,\!\ne0. Могут возникать следующие варианты:

  • Окружность — при условии a_{11}=a_{22}\,\!, a_{12}=0\,\!.
  • Эллипс — при условии D>0\,\! и I\Delta<0\,\!.
  • Мнимый Эллипс — при условии D=0\,\! и I\Delta>0\,\!.
  • Гипербола — при условии D<0\,\!.
  • Парабола — при условии D=0\,\!.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется «вырожденной», если \Delta\,\!=0. Могут возникать следующие варианты:


См. также

Ссылки

Методическое пособие по "Кривым Второго порядка"

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home