Равномерная непрерывность

Равномерная непрерывность — понятие математического анализа.

Пусть X и Y суть метрические пространства. Функция f:X\to Y называется равномерно непрерывной на некотором подмножестве E\subset X, если:

\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0:\forall x_{1},x_{2}\in E (|x_{1}-x_{2}|<\delta)\Rightarrow(|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon)

Очевидно, что если функция равномерно непрерывна на E, то она непрерывна на нём. Обратное неверно; например, функция f(x) = 1 / x в интервале (0,1), но не является равномерно непрерывной, так как при любом \varepsilon>0 можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на \varepsilon.

Однако если функция непрерывна на компактном множестве, то она и равномерно на нём непрерывна, об этом говорит теорема Кантора — Гейне.

С понятием равномерной непрерывности связана функция — так называемый модуль непрерывности.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home