Преобразование Фурье

Преобразование Фурье — преобразование функции, превращающее её в совокупность частотных составляющих. Более точно, преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

Содержание

Применения преобразования Фурье

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятности, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. (В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды.) Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

  • Преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем случае как теорема Планшереля, или в наиболее общем как дуализм Понтрягина).
  • Преобразования обратимы, причем обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.
  • Синусоидальные базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)
  • По теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Разновидности преобразования Фурье

Непрерывное преобразование Фурье

Наиболее часто термин «преобразование Фурье» используют для обозначения непрерывного преобразования Фурье, представляющего любую квадратично-интегрируемую функцию f(t) как сумму (интеграл Фурье) комплексных показательных функций с угловыми частотами ω и комплексными амплитудами F(\omega)= \mathcal{F}(f)(t). Преобразование имеет несколько форм, отличающихся постоянными коэффициентами.

F_1(\nu) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-2\pi i\nu t}\,d\tau
F_2(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega t}\,d\tau=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)
F_3(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) e^{-i\omega t}\,d\tau=F_1\left(\frac{\omega}{2\pi}\right)
(ω=2π ν)

В разных областях науки и техники могут преобладать различные формы (поэтому иногда надо уточнять определение).

См. непрерывное преобразование Фурье для дополнительной информации, включая таблицу преобразований, обсуждение свойств преобразования и разнообразные соглашения. Обобщенным случаем такого преобразования является дробное преобразование Фурье, посредством которого преобразование можно возвести в любую вещественную «степень».

Ряды Фурье

Непрерывное преобразование само фактически является обобщением более ранней идеи рядов Фурье, которые определены для периодических функций или функций, существующих на ограниченной области f(x) (с периодом 2π), и представляют эти функции как ряды синусоид:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx} ,

где Fn — комплексная амплитуда. Или, для вещественнo-значных функций, ряд Фурье часто записывается как:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],

где an и bn — (действительные) амплитуды ряда Фурье.

Дискретное преобразование Фурье

Для использования в компьютерах, как для научных расчетов, так и для цифровой обработки сигналов, необходимо иметь функции xk, которые определены на дискретном множестве точек вместо непрерывной области, снова периодическом или ограниченном. В этом случае используется дискретное преобразование Фурье (DFT), которое представляет xk как сумму синусоид:

x_k = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} f_j e^{2\pi ijk/n} \quad \quad k = 0,\dots,n-1

где fj — амплитуды Фурье. Хотя непосредственное применение этой формулы требует O(n²) операций, этот расчет может быть сделан за O(n log n) операций используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, FFT) (см. O-большое), что делает преобразование Фурье практически важной операцией на компьютере.

Оконное преобразование Фурье

Классическое преобразование Фурье имеет дело со спектром сигнала, взятым во всем диапазоне существования переменной. Нередко интерес представляет только локальное распределение частот, в то время как требуется сохранить изначальную переменную (обычно время). В этом случае используется обобщение преобразования Фурье, так называемое оконное преобразование Фурье. Для начала необходимо выбрать некоторую оконную функцию:

F(t,\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

где F(t,ω) дает распределение частот части оригинального сигнала f(t) в окрестности времени t.

Другие варианты

Дискретное преобразование Фурье является частным случаем (и иногда применяется для аппроксимации) дискретного во времени преобразования Фурье (DTFT), в котором xk определены на дискретных, но бесконечных областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками. См. также дуализм Понтрягина для обобщенных обоснований преобразования Фурье.

Интерпретация в терминах времени и частоты

В терминах обработки сигналов, преобразование берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где ω — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (ω), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно осознавать, что преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они могут в равной степени применяться для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

Таблица важных преобразований Фурье

Следующая таблица содержит список важных формул для преобразования Фурье F(ω) и G(ω) обозначают фурье компоненты функций f(t) and g(t), соответственно. f и g должны быть интегрируемыми функциями или обобщенная функция. Помните, что соотношения в этой таблице и в особенности множители такие как \sqrt{2\pi}, зависит от соглашения какая форма определения для Фурье преобразования использовалась прежде (хотя в общем виде соотношения конечно правильны).


  Оригинал Изображение Примечания
1 a f(t) + b g(t)\, a F(\omega) + b G(\omega)\, Линейность
2 f(t - a)\, e^{- i\omega a} F(\omega)\, Запаздывание
3 e^{ iat} f(t)\, F(\omega - a)\, Частотный сдвиг
4 f(a t)\, |a|^{-1} F \left( \frac{\omega}{a} \right)\, Если a\, большое, то f(a t)\, сосредоточена около 0 и |a|^{-1}F(\frac{\omega}{a})\, становится плоским
5 \frac{d^n f(t)}{dt^n}\, (i\omega)^n F(\omega)\, Свойство преобразования Фурье от n-ой производной
6 t^n f(t)\, i^n \frac{d^n F(\omega)}{d\omega^n}\, Это обращение правила 5
7 (f * g)(t)\, \sqrt{2\pi} F(\omega) G(\omega)\, Запись f * g\, означает свёртку f\, и g\, — это правило теорема о свёртке
8 f(t) g(t)\, (F * G)(\omega) \over \sqrt{2\pi}\, Это обращение 7
9 \delta(t)\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\, \delta(t)\, означает дельта-функцию Дирака
10 1\, \sqrt{2\pi}\delta(\omega)\, Обращение 9.
11 t^n\, i^n \sqrt{2\pi} \delta^{(n)} (\omega)\, Здесь, n\, натуральное число. \delta^n(\omega)\,n-тая обобщённая производная дельта-функции Дирака. следствие правил 6 и 10. Использование его вместе с правилом 1, позволяет делать преобразования любых многочленов
12 e^{i a t}\, \sqrt{2 \pi} \delta(\omega - a)\, Следствие 3 и 10
13 \cos (a t)\, \sqrt{2 \pi} \frac{\delta(\omega - a) + \delta(\omega + a)}{2}\, Следствие 1 и 12 с использованием формулы Эйлера \cos(a t) = \frac{1}{2} \left( e^{i a t} + e^{-i a t}\right)\,
14 \sin( at)\, \sqrt{2 \pi}\frac{\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)}{2i}\, Также из 1 и 12
15 \exp(-a t^2)\, \frac{1}{\sqrt{2a}} \exp\left(\frac{-\omega^2}{4a}\right)\, показывает, что функция Гаусса \exp(-t^2/2)\, совпадает со своим изображением
16 W \sqrt{\frac{2}{\pi}} \mathrm{sinc}(W t)\, \mathrm{rect}\left(\frac{\omega}{2 W}\right)\, Прямоугольная функция — идеальный фильтр низких частот и sinc функция её временной эквивалент
17 \frac{1}{t}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sgn(\omega)\, Здесь \sgn(\omega)\,sign функция; заметим. что это правило в согласии с 6 и 10
18 \frac{1}{t^n}\, -i\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{(-i\omega)^{n-1}}{(n-1)!}\sgn(\omega)\, Обобщение 17
19 \sgn(t)\, \sqrt{\frac{2}{\pi}}(i\omega)^{-1}\, Обращение 17
20 \sqrt{2\pi}\mathrm{H}(t)\, \frac{1}{i\omega} + \pi\delta(\omega)\, Здесь \mathrm{H}(t)\,функция Хевисайда; следует из правил 1 и 19

Литература

Smith, Steven W. The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, 2nd edition. San Diego: California Technical Publishing, 1999. ISBN 0-9660176-3-3. (также доступна в Сети: [1])

См. также

Ссылки


Интегральные преобразования
Преобразование Абеля | Преобразования Бесселя | Преобразование Бушмана | Преобразование Ганкеля | Преобразование Гильберта | Преобразование Конторовича—Лебедева | Преобразование Лапласа | Преобразование Мейера | Преобразование Мелера-Фока | Преобразование Меллина | Преобразование Нерейна | Преобразование Радона | Преобразование Стильтьеса | Преобразование Фурье | Преобразование Хартли
 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home