Логарифм

Логарифм числа a по основанию b равен показателю степени, в которую надо возвести число b, чтобы получить число a (если logba = x, то bx = a). Широкое применение нашли логарифмы по основаниям e (число Эйлера) — натуральные логарифмы (ln a) и по основанию 10 — десятичные логарифмы (lg a), а также двоичные логарифмы (log2a), которые применяются в теории информации и информатике.

Свойства логарифмов

\forall a,b,c>0 и a \ne 1

  • \log_a \left (bc \right) = \log_a b + \log_a c
  • \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c
  • logabp = plogab
  • \log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b
  • \log_a b = \frac{\log_c b }{\log_c a}
  • Основное логарифмическое тождество:
a^{log_a b} = b

Натуральный логарифм

При -1 < x \le 1 справедливо равенство

\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + (1)

В частности,

\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится, и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+...\right) (2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа z.


Для производной натурального логарифма справедлива формула

(\ln(t))' = \frac{1}{t}

Десятичные логарифмы

Логарифмы по по основанию 10 (обозначение lg a) ранее широко применялись для вычислений. Это связано с тем, что если

а = b · 10n

то

lg a = lg b + n

Поэтому, если составить таблицы логарифмов для чисел от 1 до 10, то с их помощью можно найти логарифм любого числа, предварительно приведя его к стандартному виду (что легко делается вручную).

И наоборот, с помощью тех же таблиц можно возвести 10 в любую степень (т. е. найти число по его десятичному логарифму), используя тождество

10x = 10{x} · 10[x]

где {x} — дробная часть x, а [x] — целая часть x.

Шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки.

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home