Измеримая функция

Измери́мые фу́нкции представляют естественный класс функций между пространствами с выделенными алгебрами, в частности измеримыми пространствами.

Содержание

Определение

Пусть (X,\mathcal{F}) и (Y,\mathcal{G}) суть два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция f: X\to Y называется \mathcal{F} / \mathcal{G}-измеримой, или просто измеримой, если полный прообраз любого множества из \mathcal{G} принадлежит \mathcal{F}, т.е.

\forall B \in \mathcal{G},\; f^{-1}(B) \in \mathcal{F},

где f − 1(B) означает полный прообраз множества B.

Замечание

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция f:(X,\mathcal{F}) \to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})). Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

  • Функция f измерима, если
\forall c\in \mathbb{R},\; \{x\in X \mid f(x) \le c\} \in \mathcal{F}.
  • Функция f измерима, если
\forall a,b\in \mathbb{R}, таких что a \le b, имеем \{x\in X \mid f(x) \in |a,b| \} \in \mathcal{F},

где | a,b | обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Примеры

 
Начальная страница  » 
А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ы Э Ю Я
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Home